Определение температурного поля в эллиптической пластинке с круглым отверстием

1.Багдалов Ринат Ринаятович;
2. Физико-технический институт, 4 курс, САУП-41, очная, защита бакалаврской работы по направлению 220100.62 “Системный анализ и управление”;
3.Выпускная квалификационная работа, “Определение температурного поля в эллиптической пластинке с круглым отверстием ”;
4. 18.06.2014, Руководитель работы к.ф.-м.н., доцент кафедры  “Прикладная математика и системный анализ” Фомин Владимир Геннадиевич. 

Работа выполнена в текстовом редакторе MSWord 2010 и программе Elcutv 6.3.
Графическая часть работы выполнена с использованием среды MSPowerPoint 2010 пакета MSOffice 2010.



Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
 высшего профессионального образования
«Саратовский государственный технический университет
 имени Гагарина Ю.А.»


Факультет     ФТИ______________________________________________
Направление  220100 – Системный анализ и управление______________
Кафедра         ПМиСА_____________________________________________


ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Определение температурного поля в эллиптической пластинке с круглым отверстием

Выполнил студент группы САУП-41   Багдалов Р.Р. 
Руководитель работы:  к.ф. м.н., Фомин В.Г.


Допущен к защите

Протокол № ____акуаг.

Зав. кафедрой ПМиСА ______________________________ Землянухин А.И



Саратов 2018
     
     Пояснительная записка
     АННОТАЦИЯ
     
В работе рассмотрена задача теплопроводности эллиптической пластинки с круглым  отверстием. 
Цель данной работы:  решение задачи теплопроводности, для эллиптической пластинки с круглым отверстием с заданными начальными условиями.
       При решении задачи теплопроводности был использован метод конечных элементов. Врезультатебылипостроеныграфикидлянаглядногопредставлениярезультатов.
ABSTRACT

	In this work the various tasks the problem of heat conduction plate in a doubly connected domain.The aim of this work was to develop models of heat conduction problems, determination of the temperature field of the plate in a doubly connected region with a constant thickness of the plate with the given initial conditions.
    Heat conduction problem was solved by finite element method. As a result, the coordinates of the nodes have been obtained, the temperature values ??at the nodes and the node number on which the elements rest. Were built graphics to visualize the results of the x axis and the diagonal of a square.






Оглавление
ВВЕДЕНИЕ	5
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ	7
Дифференциальное уравнение теплопроводности.	10
Метод конечных элементов	16
Область применения МКЭ.	16
Основная идея метода конечных элементов	17
Преимущества МКЭ	18
Проблемы и недостатки МКЭ	18
Разбиение области на элементы	19
Нумерация узлов	19
Общая характеристика метода конечных элементов	22
Достоинства и недостатки метода МКЭ	23
















ВВЕДЕНИЕ

     В последнее время теория теплопроводности получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов и др. Элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов.Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.
     Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкции из материала с повышенной хрупкостью. Некоторые материалы при быстром возникновении напряжений, обусловленном действием резко нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталостному разрушению элементов конструкции.При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала.
Особенно широкое развитие получили теории теплопроводности и термоупругости в случае изотропных пластинок и оболочек, ослабленных отверстиями и трещинами. Для решения таких задач использовались методы комплексных потенциалов, сингулярных интегральных уравнений, функций Грина, малого параметра, дисторсии, интегральных преобразований, асимптотические методы, метод конечных элементов. Наиболее удобными в использовании оказались методы конечных элементов.
Широкие исследования термоупругого состояния были выполнены для анизотропных пластинок, тонких плит и оболочек. Основываясь на исследованиях,  А.И. Уздалев для решения плоских задач теплопроводности и термоупругости ввел обобщенные комплексные потенциалы термоупругости, позволившие решить различные задачи для односвязных областей. С использованием метода линейного сопряжения решены некоторые задачи термоупругости для некоторых классов анизотропных материалов. Общий подход к построению комплексных потенциалов и решения задач термоупругости в случае многосвязных пластинок и плит был предложен С.А. Калоеровым и А.С. Космодамианским , ими был решен ряд задач, когда на контурах отверстий задавались значения температуры, во внутренних точках действуют сосредоточенные источники тепла.
     Для решения многих прикладных задач актуальна проблема исследования температурного поля и температурных напряжений в телах с разными теплофизическими характеристиками. Условия теплового взаимодействия конечного тела с окружающими средами задаются в различной форме в зависимости от характера процесса теплопередачи.
     


ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ

     Исследование вопроса теплопроводности ведет к изучению изменения  температурного поля в пространстве и времени, характеризующего рассматриваемый процесс,
    T=f(x,y,z,?),					        (1.1)
    где T – температура; x,y,z – координаты в декартовой системе; ? – времяпроцесса;f –функция, определяющая зависимость температуры T от координат x,y,zи времени ?.
   В процессах различают как стационарные, так и нестационарные температурные поля.
   Выражение (1.1) является математической записью нестационарного температурного поля, которое зависит не только от координат x,y,z, но также от времени ?.
   Стационарным температурным полем является поле вида,
    T=F(x,y,z),  dT/d?=0,				             (1.2)
значение которого не изменяется во времени в любой его точке, т.е. является функцией пространственных координат x,y,z.
   Температурные поля, описанные выше, являются трехмерными, так как представляют собой функции трех координат x,y,z. Если температура является функцией  двух координат x,y
T=f_2 (x,y,?);					      (1.1а)
T=F_2 (x,y),					    (1.2а)
то полученные температурные поля называют двухмерными температурными полями. Если же температуры представляют собой функции одной координаты x
T=f_1 (x,?),					     (1.1b)
T=F_1 (x),						  (1.2b)
то соответствующие температурные поля выше называются одномерными температурными полями.
   Примерами таких температурных полей могут быть:
 поле бесконечной неограниченной пластины, длина и ширина которой несравнимо велики по сравнению с толщиной данной пластины;
 поле бесконечного неограниченного цилиндра, длина которого много больше, чем диаметр (радиус) данного цилиндра;
 поле шара.
   
   При соединении точек поля, имеющие одинаковые температуры, можно получить изотермическую поверхность. Пересечение изотермической поверхности некой плоскостью образует на данной поверхности изотерму, то есть линию, соответствующую одинаковой температуре.
   Температура не изменяется вдоль изотермической поверхности. Самое большое изменение на единицу длины наблюдается в сторону к изотермической поверхности нормали n и описывается градиентом температуры, являющимся неким вектором, направленным к изотермической поверхности по нормали в направлении возрастания температуры
gradT=((I_n)) ? dT/dn
где ((I_n)) ? – направленный по нормали единичный вектор в сторону возрастания температуры;dT/dn – производная температура к изотермической поверхности по направлению нормалиn.
    gradT (градиент температуры) часто вводят в обозначение, как символ ?T. Составляющие градиента температуры по осям системы координат есть соответствующие частные производные вида
    gradT=?T=1_x  dT/dx+1_y  dT/dy+1_z  dT/dz			    (1.3)
где 1_x, 1_y, 1_z –векторы единичной длины, ортогональные между собой, направленные вдоль осей x,y,z;dT/dx,dT/dy,dT/dz– частные производные температуры T (x,y,z,?) по координатам x,y,z.











Дифференциальное уравнение теплопроводности.


   Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами достаточно сложно. В таких случаях используют методы математической физики, которые заключаются в том, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается некоторый элементарный объем. Это позволяет в пределах выбранного объема и данного промежутка времени пренебречь изменениями величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.
   Выбранные таким образом элементарный объем dV и элементарный промежуток времени d?, в пределах которых рассматривается процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было считать среду как сплошную, пренебрегая ее дискретным строением. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени.
   Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
   Примем следующие допущения:
 тело однородно и изотропно;
 физические параметры постоянны;
   В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положим закон сохранения энергии, который сформулируем так:
   Количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем dV извне за время d? вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме.

где dQ1 – количество теплоты, введенное в элементарный объем dV путем теплопроводности за время d?;
dQ2 – количество теплоты, которое за время d? выделилось в элементарном объеме dV за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии (изохорный процесс) или энтальпии вещества (изобарный процесс), содержащегося в элементарном объеме dV за время d?.
   Для получения уравнения рассмотрим элементарный объем в виде кубика со сторонами dx, dy, dz(см. рис.1.2.). Кубик расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям. Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время d? в направлении осей x, y, zобозначим соответственно dQx, dQy, dQz.
   Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях,  обозначим соответственно dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.
   Количество теплоты, подведенное к грани dxdy в направлении оси x за время d?, составляет:				
где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Соответственно количество теплоты, отведенное через противоположную грань будет:

	Разница между количеством теплоты, подведенном к элементарному объему, и количеством теплоты, отведенного от него, представляет собой теплоту:						

	Функция q является непрерывной в рассматриваемом интервале dxи может быть разложена в ряд Тейлора:

	Если ограничиться двумя первыми слагаемыми ряда, то уравнение запишется в виде:				
	Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к объему в направлении двух других координатных осей yи  z.
	Количество теплоты dQ, подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно:

	Второе слагаемое определим, обозначив количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени qv и назовем его мощностью внутренних источников теплоты [Вт/м3], тогда:

	Третья составляющая в нашем уравнении найдется в зависимости от характера ТД процесса изменения системы.
	При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. dQ=dU.
	Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема u=f(t,v), то можно записать:
,	Дж/м3
,	Дж/кг
где cv – изохорная теплоемкость или единицы объема или единицы массы, [Дж/м3];
? – плотность, [кг/м3].
	Соберем полученные выражения:




	Полученное выражение является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты.
	Аналогично выводится уравнение для изобарного процесса. Вся теплота, подведенная к объему уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в объеме.




	Полученное соотношение является дифференциальным уравнением энергии для изобарного процесса.
	В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье , значение теплоемкости можно принять . Напомним, что проекция вектора плотности теплового потока на координатные оси определяются выражениями:
						



	Последнее выражение называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.Если принять теплофизические параметры постоянными, то уравнение будет проще:

	Обозначим , тогда:











Метод конечных элементов

Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований . Первое формальное изложение метода конечных элементов дано в 1956 г. М.Тэрнером , Р.Клафом , Х.Мартином и Л.Топпом. Область применения этого метода очень велика: от анализа напряжений в конструкциях автомобилей, самолётов до расчёта таких сложных и важных систем, как атомная электростанция.

Область применения МКЭ.

Основная идея метода конечных элементов состоит в разбиении рассматриваемой области упругого тела на ряд подобластей ( конечных элементов) , в каждой из которых  неизвестная величина (например, напряжения, перемещения или температура точек тела) имеет простое аналитическое выражение . Эти конечные элементы имеют общие узловые точки , в которых они связаны между собой , и в совокупности аппроксимируют форму рассматриваемой области. Задача состоит в определении неизвестных величин в узлах путем использования одного из вариационных принципов.
Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные.В задачах механики деформируемого твердого тела используются следующие вариационные принципы: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кастильяно (варьируются напряжения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации).

Основная идея метода конечных элементов

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разреженный вид, что существенно упрощает её решение.






Преимущества МКЭ

Важнейшими преимуществами метода конечных элементов являются:
Свойства материалов смежных элементов могут быть разными. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких материалов.
Конечными элементами являются простые области (прямые линии, треугольники, прямоугольники, пирамиды, призмы). Таким образом, данным методом можно аппроксимировать тела со сложной формой краев.
Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет увеличивать или уменьшать элементы сетки.
С помощью МСЭ легко рассмотреть граничные условия с разрывной поверхностным нагрузкам, а также смешанные граничные условия.
Алгоритм метода конечных элементов позволяет создать общие программы для решения задач различного класса.
Задача сводится к решению системы алгебраических уравнений большой размерности. Однако хорошая обусловленность системы разрешающих алгебраических уравнений позволяет получать достаточно точные решения для систем уравнений размерностью 5-10 миллионов и более.

Проблемы и недостатки МКЭ

Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие в управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода конечных элементов могут совершенствование вычислительных программ и создание мощных ЭВМ.


Разбиение области на элементы

Процесс дискретизации может выть разделен на два этапа:  разбиение тела на элементы и нумерация элементов  и узлов. Последний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.
В этом разделе рассматривается разбиение двумерной области на линейные треугольные элементы. Двумерная область выбрана  для удобства иллюстрации; кроме того, идеи, представленные здесь, могут быть обобщены на случай трехмерного тела.  Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки.	
Разбиение двумерного тела на треугольники выделено потому, что этот элемент — простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области на треугольники , вероятно, наилучший способ разбиения.

Нумерация узлов
  
  Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы номера узлов не влияли на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элементов приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что все ненулевые коэффициенты и некоторые нулевые находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали (рис. 2.10). Расстояние между главной диагональю








Рис. 2.10. Ширина полосы ненулевых элементов (коэффициентов) матрицы системы уравнений. (буквы С обозначает ненулевые коэффициенты.)

и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не должны сохраняться в машинной памяти. Правильная вычислительная программа использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой машинной памяти, а также к сокращению времени вычислений. Ширина полосы Ввычисляется по формуле
B = ( R+1) Q                         (2.1)
где R - максимальная по элементам величина наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе, Q - число неизвестных (число степеней свободы) в каждом узле. Мини-мизация величины Всвязана с минимизацией R, что, в частности, может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела. Два разных способа нумерации узлов в теле показаны на рис. 2.11, а и б. Наибольшие разности между номерами узлов для первых элементов на рис. 2.11, а и б равны 7 и 21 соответственно. Значения Rдля полных наборов элементов равны 9 и 21. Для ширины полосы получаются значения 10 и 22 , если в каждом узле отыскивается по одной неизвестной величине ,







V




Рис. 2.11. Два примера нумерации узлов при разбиении на элементы двумерноготела или значения 20 и 44, если в каждом узле рассматриваются две неизвестные величины.Правильная нумерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем на 50%.
Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. Обычно принято номер элемента помещать в круг ( или  заключать в круглые скобки) с тем, чтобы избежать путаницы с номерами узлов. Элемент (1) на рис. 2.11, а   содержит узлы с номерами 1, 2 и 8. Нумерацияэлементов не влияет на вычислительные аспекты задачи.

Общая характеристика метода конечных элементов


Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.
Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.
С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

Последовательность процедур  общей схемы  алгоритма МКЭ 

Последовательность процедур алгоритма МКЭ при использовании принципа Лагранжа может быть представлена в следующем виде:  1). дискретизация,  2).составление матриц жесткостей (МЖЭ)  каждого отдельного элемента,3).формирование глобальной матрицы жесткости всей области (МЖС) , 4).решение МЖС –системы линейных алгебраических уравнений  относительно узловых перемещений , 5).вычисление деформаций и напряжений в элементе.

Достоинства и недостатки метода МКЭ

В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются следующие :
1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов.
2. Криволинейная область  может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы .
3. Размеры  элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы , если в этом есть необходимость.
4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.
5. Указанные выше преимущества метода конечных элементов могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для решения частных задач определенного класса. Например, с помощью программы для осесимметричной задачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.
Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие в управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода конечных элементов могут совершенствование вычислительных программ и создание мощных ЭВМ.

























Постановка задачи
Рассмотрим эллиптическую пластинку с некоторым круглым отверстием в центре.

Центр отверстия примем за начало координат. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала. Действующими, некоторыми распределенными нагрузками пренебрегаем.

Условия задачи:
Материал: Сталь 40X
Толщина пластины - 10мм 
Размеры пластиныw-3.5 h-1.5
Диаметр отверстия d=0.6
Дополнительные условия:
Теплопроводность железа(Fe): ?=46Вт/К*м
Плотность (Fe): ?=78050 кг/м3
Удельная теплоемкость (Fe): C=620 Дж/(кг·К)



Для решения данной задачи, была использована метод конечных элементов (МКЭ).  Расчеты были произведены в программе 
“Elcut v6.3”


Ход Решения

 Создаем задачу: указываем тип задачи, класс модели, определяем толщину модели










 Строим геометрическую модель



 Задаем метки блоков и вершин.
 Устанавливаем параметры и значения 

  Задаем граничные условия





   6) Строим сетку конечных элементов



    7) Запускаем задачу



По цветовой шкале определяем температуру t на различных участках пластины.










Для удобства восприятия информации, результаты температур представлены в виде графиков:








ЗАКЛЮЧЕНИЕ
	В результате проведенных вычислений и расчётов можно сделать следующие выводы:
 На графиках представлены распределения температуры. В первом случае вдоль оси x во втором вдоль оси y
 В итоге проведенной работы решили задачу теплопроводности для двусвязной области методом конечных элементов на основе рассмотренной математической модели. 
 Данная модель позволяет усложнить задачу в дальнейшем, рассматривая пластинки переменной толщины, различные граничные условия, а также учитывать зависимость теплопроводности материала от температуры.

















СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Беляев Н.М. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1978.-328с.
2. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983.-328с.
3. Дульнев Г.Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. -М.: Высшая школа., 1990.-207 с.
4. Занкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ.-М.: Мир, 1975.- 542 с.
5. Карслоу Х.С. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ.-М.: Наука, 1964.-487 с.
6. Лыков А.В. Тепломассообмен. - М.: Энергия, 1978.- 480 с.
7. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967-600с.
8. Марченко В.М. Температурные поля и напряжения в конструкции летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1965. - 299 с.
9. Мотовиловец И.А. Теплопроводность пластин и тел вращения.- Киев: Наукова Думка, - 1969.-142 с.
10. Норри Д. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. -304 с.
11. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.-392с.
12. Фомин В.Г. Определение полей температур и напряжений для двусвязной пластинки переменной толщины. - М., 1991.-8с.-Деп. в ВИНИТИ 29.07.91 № 3235-В91.
13. Молчанов И.Н. Основы метода конечных элементов. - Киев: Наукова Думка,-1989.-270 с.






9


.......................