Методы управлени линейными автономными системами неполного ранга

Учреждение образования 

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»









На правах рукописи

УДК 517.977













Урбан Ольга Ивановна



Методы управлени линейными автономными системами неполного ранга





Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

по специальности «01.01.02 – дифференциальные уравнения, 

динамические системы и оптимальное управление»

















Научный руководитель 

кандидат физико-математических наук, доцент Хартовский В.Е. 



		





Гродно, 2017


ОГЛАВЛЕНИЕ



введение	3

общая характеристика работы	0

	ГЛАВА 1 обзор и анализ литературы ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 	…5 

1.1 Обзор литературы    	5

1.2 Основные методы исследования	12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	103

Библиографический список	104

	ПРИЛОЖЕНИЯ	114


перечень условных обозначений





– множество натуральных чисел.

– множество действительных чисел.

– множество комплексных чисел.

 – действительное пространство k-векторов-столбцов.

 – единичная матрица порядка k.

 – множество матриц размера , элементы которых являются полиномами переменной .

 пространство непрерывных на отрезке  вектор-функций со значениями в пространстве .

– пространство абсолютно непрерывных функций, определенных на отрезке  со значениями в пространстве .

АДС – алгебро-дифференциальные системы.








Введение



XXI век – век бурного развития информационных технологий, компьютеров и роботов. Еще несколько столетий назад технологии развивались довольно медленно, и каждое открытие и изобретение производило огромное впечатление. Несомненно, основным катализатором всех изобретений является сама человеческая цивилизация и ее потребности. С давних времен человек был основным источником труда. Однако для увеличения объемов, улучшения качества производства возникла идея о механизации человеческого труда. В наше время автоматизация является одним из основных направлений научно-технического прогресса. 

Для конструирования устройств управления производственными процессами в химической, нефтехимической, металлургической, транспортной, горнодобывающей и др. промышленностей необходимо глубокое изучение и понимание реальных процессов. Любой технологический процесс можно расчленить на более простые, связанные между собой процессы. 

При математическом моделировании ряда производственных задач необходимо учитывать так называемый эффект запаздывания. Влияние которого может быть весьма велико и давать негативные результаты при его игнорировании. Например, приводить к потере работоспособности системы, ухудшать качество процессов управления, затруднять достижение поставленной цели управления. С учетом всего для эффективного моделирования производственных задач используются дифференциальные уравнения с запаздыванием (последействием).

К числу фундаментальных понятий теории динамических систем с запаздыванием относится понятие управляемости. Впервые проблема полной управляемости (полного успокоения) для систем c запаздыванием была поставлена Н.Н. Красовским, а затем исследовалась многими учеными: В.Т. Борухов, Р.Ф. Габасовым, И.В. Гайшуном, Л.С. Гноенским, А.С. Гринбергом, В.И. Зубовым, А.И. Калининым, Б.С. Калитиным, Р. Калманом, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановским, Т.Б. Копейкиной, В.В. Крахоткой, А.Б. Куржанским, В.М. Марченкой, А.В. Метельским, С.А. Минюком, В.Е. Хартовским, M.C. Delfour, R.D. Drivera, J. Hale, F. Kappel, M. Kwapisz, S. Verduyn Lunel, R.B. Zmood, J. Wei, J. Wu и многими другими математиками. Следует подчеркнуть большой вклад отечественных ученых в развитие теории управления объектами с запаздываниями. 

Одним из способов управления, применяемым в настоящее время при разработке систем, является принцип программного управления. Однако, известно, что устройства, функционирующие по принципу программного управления, имеют существенные недостатки [К6]. Например, невозможность корректного управления объектом, если возникают заранее не известные возмущения, влияющие на управляемую величину. Так же если объект управления является нейтральным или неустойчивым [К6, с. 12], то небольшая систематическая ошибка в программном управлении приводит к нарастающей ошибке управляемой величины. Все это и многое другое привело к необходимости искать другие принципы воздействия (управления), таким способом управления является принцип обратной связи.

Основная идея управления по принципу обратной связи заключается в определении отклонения текущего состояния выходной или измеряемой переменной от требуемого значения и, таким образом, на его основе происходит формирование управляющего воздействия. Принцип обратной связи широко используется в производстве и технике, а так же присущ не только живым организмам, но и обществу.

Задача конструирования регуляторов, основанных на принципе обратной связи и обеспечивающих системе управления заданные свойства, занимает одно из центральных мест в теории автоматического регулирования. Управление по принципу обратной связи нашло свое широкое применение во многих областях человеческой деятельности. С учетом того, что на сегодняшний день наблюдается дефицит конструктивных результатов в области управления объектами с запаздываниями, то настоящее исследование направленно именно на поиск новых методов управления для данного класса систем.


Глава 1

обзор литературы и основных методов исследования



Обзор литературы



Изучению задач управляемости, а также исследованию различных оптимизационных задач посвящено значительное число работ [Б5, Г2, Г4, Г5, Г6, Г9, Г10, З2, К3, К4, К19, К22, Л2, OL1] и др.

Впервые постановка задачи управляемости (нахождение условий существования хотя бы одного допустимого управления, переводящего траекторию движения объекта из одного указанного положения в другое) и ее решение для линейных стационарных систем и их дискретных аналогов была дана Р. Калманом в его докладе на I конгрессе ИФАК [К3]. Также он выделил четыре основных типа задач для обыкновенных линейных автономных систем, то есть систем с конечным пространством состояний: задача достижимости, задача идентифицируемости, задача наблюдаемости и задача управляемости. Причем доказано, что для обыкновенных линейных автономных систем понятия достижимости и управляемости, а также наблюдаемости и идентифицируемости тождественны по критериям [К4]. Условия управляемости и наблюдаемости для обыкновенных линейных автономных систем являются чисто алгебраическими по своей структуре, поэтому Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб предложили [К4] алгебраическую теорию линейных систем, которая позволила с единой позиции дать интерпретацию известных ранее фактов на языке теории модулей над кольцом полиномов. С этого момента началось бурное развитие качественной теории оптимально управления [Г2, Г4, Г7, Г9, З2, К22, Х8, AS1, CH1, OL1, WE1].

Ключевые понятия и результаты исследований в области управления конечномерными системами в преемственности с вопросами и проблемами теории автоматического регулирования изложены в монографиях Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой [Г2], И.В. Гайшуна [Г7], В.И. Зубова [З2], Н.Н. Красовского [К22]. Так же интенсивно разрабатывалась теория управления нелинейных систем. Следует отметить работы в области управления таких ученых как Н.Н. Петрова, Е.Л. Тонкова, А.П. Иванова, Н.Е. Кирина. 

Н.Н. Красовский показал [К22], что задача оптимального управления во многих случаях может быть сведена к решению проблемы моментов и предложил точные и приближенные методы вычисления оптимального управления. 

Успехи в области обыкновенных систем стимулировали попытки распространить полученные результаты на иные, более сложные виды систем: функционально-дифференциальные системы запаздывающего, нейтрального и опережающего типов, системы с отклонением более общего вида [М26]. 

Также шло обобщение понятия управляемости, от простой относительной управляемости до более сложной полной управляемости в функциональных пространствах. 

Бесконечномерность пространства состояний систем с отклоняющимся аргументом не позволяет ограничиться рассмотрением только двух понятий: управляемости и наблюдаемости. Помимо того, критерии перечисленных выше задач не совпадают по форме и возможно рассмотрение этих задач в конечномерных и бесконечномерных пространствах.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом содержат неизвестную функцию и ее производные при различных значениях аргумента. В теории дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом принято деление рассматриваемых уравнений на три типа: запаздывающий, опережающий и нейтральный, хотя четких установленных критериев такого разграничения нет [А1]. Следуя работе [А1] простейший тип зависимости от прошлого в дифференциальном уравнении осуществляется через переменную состояния, а не через ее производную. Это так называемые дифференциально-разностные уравнения запаздывающего типа. Если же запаздывание входит не только в переменную состояния, но и в ее производную, то такой тип уравнений называется нейтральным. Уравнения опережающего типа отличаются тем, что их состояние в момент времени , зависит от будущего состояния. Запаздывающий тип уравнений чаще других появляется в приложениях и достаточно хорошо изучен. Они нашли свое широкое применение в промышленности, энергетике, на транспорте, в различных областях техники. Задачи, приводящие к уравнениям нейтрального типа, появляются при изучении двух и более колебательных систем с несколькими связями между ними. Уравнения нейтрального типа по своим свойствам и по области приложений занимают промежуточное положение между обыкновенными уравнениями, не разрешенными относительно производной и уравнений запаздывающего типа [А1]. Они применяются, например, при изучении линии передачи без потерь. В работе [К12] приведен обширный перечень задач, приводящих к системам нейтрального типа. Уравнения с опережением можно встретить, например, при изучении замедления нейронов в ядерном реакторе [Х8, стр. 17]. 

В монографии [Б1, стр. 183] классификация уравнений с отклоняющимся аргументом базируется на исследовании корней характеристического уравнения. 

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом запаздывающего и нейтрального типов относятся к уравнениям с последействием (запаздыванием) [К12]. В своей работе [М32] А.Д. Мышкинс ввел общий класс систем уравнений с запаздывающими аргументами и заложил основы общей теории линейных систем с запаздыванием. Основные понятия и вопросы общей теории динамических систем с последействием изложены в монографиях Р. Беллмана и К. Кука [Б1], Р.Ф. Габасова и Ф.М. Кирилловой [Г2], А.И. Кирьянина [К10], В.В. Колмановского и В.Р. Носова [К13], В.Г. Курбатова [К24], А.Д. Мышкиса [М33], Э. Пинни [П1], Дж. Хейла [Х8], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [Э1], A. Halanaya [HA1], R.D. Drivera [DR1], J. Hale, S. Verduyn Lunel [HA2], J. Wu [WU1] и других авторов. В работе [М4] приведены основные этапы развития качественной теории систем с последействием, а также дан обширный библиографический список. 

Один из возможных подходов к изучению дифференциально-разностных систем запаздывающего типа состоит в том, что фиксированную начальную функцию можно вводить в неоднородность. В итоге поведение системы будет определяться конечномерным вектором. Другой подход, ставший основным методом пространства состояний для систем с последействием разработан Н.Н. Красовским [К19]. Под состоянием системы в момент времени , понимают функцию, определенную на отрезке, равном времени последействия, а в качестве пространства состояний берется банахово пространство непрерывных функций.

Что касается дифференциально-разностных систем нейтрального типа, то под состоянием системы в момент времени , понимают функцию, определенную на отрезке, равном времени последействия, а в качестве пространства состояний берется пространство абсолютно непрерывных функций. В работах P. Kwapisza и других польских математиков [JA1, KW5] исследуются уравнения нейтрального типа в банаховом пространстве, строятся последовательные приближения решения, доказываются теоремы об их сходимости, существовании и единственности [А1].

Первый эффективный результат в теории управляемости систем с последействием получен в работе [К7]. Ф.М. Кирилловой и С.В. Чураковой, где приведены необходимые и достаточные условия нуль-управляемости для систем с одним запаздыванием в состоянии. Достаточные условия разрешимости задачи относительной управляемости (алгебраическое [К7] и в терминах передаточных функций) доказаны A.K. Choudhury в работе [CH1].

Понятие определяющего уравнения, введенного Ф.М. Кирилловой и С.В. Чураковой в работе [К8], играет важную роль в теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Через этот объект авторы [К8] получили простую формулировку критерия относительной управляемости для систем запаздывающего типа с одним запаздыванием в состоянии. В работе [Г1] с помощью метода определяющего уравнения Р.Ф. Габасовым, С.В. Чураковой исследуются системы уравнений со многими запаздываниями в состоянии. Этим же методом Р.Ф. Габасовым, и В.В. Крахотко [Г3] исследованы системы уравнений нейтрального типа. Далее, развивая данный математический аппарат, в работах [Г4, Г5] доказаны критерии относительной управляемости для объектов более общего вида. Содержательное изложение теории управляемости и наблюдаемости динамических систем, базирующейся на методе определяющего уравнения, приведено в монографии [Г2]. Отметим также, что значительный вклад в теорию управляемости систем с запаздыванием внесли работы Л.Е. Забелло, В.В. Карпука, Т.Б. Копейкиной, Ф.М. Кирилловой [К9], В.В. Крахотко [К23], В.М. Марченко, А.В. Метельского, С.А. Минюка [М21], Б.Ш. Шкляра [Ш2, Ш4] и др. 

Свойство автономности является одним из важных свойств линейных систем [Г2]. Если система этим свойством не обладает, то возникает вопрос: можно ли с помощью линейной обратной связи сделать систему автономной? Для обыкновенных линейных систем первым сформулировал и решил задачу о расцепимости B.S. Morgan [MO1]. Для систем с запаздывающим аргументом – S.G. Tzafestas, P.N. Paraskevopoulos, T.G. Pimenides, Z. Iwai, D.E. Seborg, D.G. Fisher, N. Kobayashi [TZ1, TZ2, IW1]. В работе [IW1] для нестационарных систем с запаздыванием по состоянию и нестационарных систем с запаздыванием по управлению получены достаточные условия расцепимости. Так же в ней рассмотрен вопрос о виде расцепляющих матриц. Путем формальной замена системы с кратными запаздываниями по состоянию и управлению системой в операторной форме получены необходимые и достаточные условия полного расцепления системы [TZ1], достаточные условия частичного расцепления [TZ2]. В работе И.К. Асмыковича [А2] получены необходимые и достаточные условия для расцепимости дифференциально-разностной системы посредством разностного регулятора. 

Одна из особенностей систем с последействием связана со следующей проблемой: всегда ли невозмущенные движения системы при переборе всевозможных начальных состояний в фиксированный момент времени заполняют все пространство ? Системы, обладающие таким свойством, L. Weiss [WE1] предложил называть точечно полными. В противном случае системы называют точечно вырожденными. 

Первым проблему точечной полноты для систем с запаздыванием поставил в 1967 году L. Weiss в работе [WE1] в связи с исследованием управляемости для таких систем. Проблеме точечной полноты посвящены работы многих авторов [З1, К5, К11, К27, М23, М24, М28, М29, М30, М36, М40, Х8, AS1, BR3, FU1, KA1, KA2, PO1, FU2, WE1, ZM1]. Необходимые и достаточные условия точечной полноты получены авторами работ [CH1, PO1, ZM1]. R.B. Zmood и Mc Clamroch ввели понятие точечной полноты для систем с запаздыванием в фиксированный момент времени и получили ранговый критерий точечной полноты. Одним из недостатков их метода является необходимость оперировать матрицами больших размеров, чем порядок исходной системы [ZM1]. А.М. Зверкин доказал [З1], что если дифференциально-разностная система запаздывающего типа точечно вырождена, то ее характеристических квазиполином или полином, или содержит полиномиальный множитель. Следует отметить, что в своих работах, при исследовании проблемы точечной полноты В.В. Карпук и F. Kapell активно используют аппарат целых функций. Большой вклад в решение проблемы точечной полноты внесли работы С.А. Минюка. В статье [М15] А.В. Метельским получены эффективные параметрические критерии точечной вырожденности для систем с запаздыванием, также там содержится обширная историческая справка по проблеме точечной полноты. Проблема точечной полноты и ее приложения к задачам управления изучалась авторами работ [К5, М28, М29] и другими.

Одной из основных задач, ставших классической для систем с запаздыванием является проблема полной управляемости. Суть ее заключается в том, чтобы из любого начального состояния привести траекторию системы в начало координат и удерживать ее там в течении времени последействия. Впервые проблема полной управляемости для систем c запаздыванием второго порядка была поставлена Н.Н. Красовским Указанная задача рассматривалась также в статье А.В. Куржанского [К25]. Ф.М. Кирилловой и С.В. Чураковой доказано [К7], что полная управляемость системы возможно тогда и только тогда, когда система относительно управляема. В монографии [Г2] содержится общая схема исследования задачи полной управляемости. В работах Марченко В.М. [М1, М3] изучаются линейные стационарные системы с одним и со многими запаздываниями. Для таких систем получены критерии полной управляемости, достаточное условие полной управляемости, предлагаются новые способы доказательства основных критериев относительной управляемости. Исследованию задач управляемости (относительной, нуль-управляемости, полной, глобальной и т.д.) для различных классов систем посвящены работы С.А. Минюка [М25, М26], А.В. Метельского, В.Е. Хартовского. Базируясь на методе финитного управления, основанного на теореме Винера-Пэли, в [М3] В.М. Марченко был получен критерий полной управляемости линейных автономных систем запаздывающего типа. 

В работе [Х7] В.Е. Хартовским решена задача полной управляемости для линейных автономных систем нейтрального типа с многими соизмеримыми запаздываниями в случае, когда под решением системы понимается абсолютно непрерывная функция. Так же авторами была предложена методика управления указанными объектами в случае отсутствия у них свойства полной управляемости. Также для систем нейтрального типа в работе [М38] построена динамическая обратная связь, обеспечивающая полное успокоение исходной системы и асимптотически устойчивый конечный спектр замкнутой системы.

В своей работе [М5] А.В. Метельский показал, что в случае линейной автономной дифференциально-разностной системы не полного ранга можно разложить пространство непрерывных функций в прямую сумму управляемого и неуправляемого подпространств, а также построил граничную задачу для вычисления успокаивающего управления.

Различные задачи теории управления исследованы зарубежными учеными [AS1, CH1, WE1, ZM2]. 

Важную роль в исследовании задачи полной управляемости играет [М5] задача полной идентифицируемости, заключающаяся в восстановлении текущего состояния системы по измерениям известного выходного сигнала. Различные подходы для решения этой задачи изучены в работах [В1, К18, К26, М5, М7, М27]. В частности, в [В1] рассмотрен вопрос существования непрерывной восстанавливающей операции текущего состояния, в [М5] приводится граничная задача для вычисления текущего состояния линейных автономных дифференциально-разностных систем. В работе С.А. Минюком и А.В. Метельским через интегральное представление производных выхода построен непрерывный оператор восстановления текущего состояния. Это позволило [М7] дать конструктивный метод решения задачи полной управляемости как двойственной задаче конструктивной идентифицируемости. 

Для линейных стационарных систем нейтрального типа в работе [М17] доказаны параметрические критерии конструктивной идентифицируемости и полной управляемости, а также приведены конструктивные методы решения указанных задач. Статья [М17] является продолжением работы [М7] в которой дано решение задач конструктивной идентифицируемости и полной управляемости в случае характеристического квазиполинома запаздывающего типа.

Проблему полной управляемости можно трактовать как задачу достижимости посредством подходящих управлений линейного многообразия конечных состояний невозмущенной линейной автономной дифференциально-разностной системы. Реализацией этой идеи стала задача функциональной достижимости, связанная с изучением плотности многообразия состояний, достижимых системой из нуля, в различных функциональных пространствах.

Вопрос устойчивости движений является важнейшим для теории автоматического управления. Исследованием устойчивости систем с последействием занимались Л.Э. Эльсгольц, W. Hahn, H.H. Красовский, С.Н. Шиманов, Б.С. Разумихин, Ю.М. Репин, Дж. Хейл, A.M. Зверкин, В.И. Зубов, V. Rasvan и др. Основные результаты в этой области и соответствующую библиографию можно найти в монографиях H.H. Красовского [К20], Р. Беллмана и К. Кука [Б1]. 

Одним из основных вопросов качественной теории управления является задача о возможности стабилизации системы. Для систем с запаздыванием основные результаты по данному направлению были получены в работах Н.Н. Красовского и Ю.С. Осипова [К20, О1]. Ими дана постановка задачи стабилизации для систем с запаздыванием, исследованы вопросы ее разрешимости. Полученный в этих работах критерий стабилизируемости представленный в спектральной форме [Г6] в последствии обобщен для решения подобной задачи для более сложных видов систем. В работе [Г6] А.Г. Габелая, В.И. Иваненко и О.Н. Одарич получили ранговый критерий стабилизируемости для линейных автономных систем с запаздыванием, а также предложили алгоритмический способ его проверки. 

В своей работе [М39] В.М. Марченко и А.А. Якименко утверждают, что вопрос стабилизации для систем нейтрального типа представляет собой серьезную математическую проблему, поскольку для решения задачи стабилизации требуется вычисление собственных значений и собственных функций систем нейтрального типа, число которых в общем случае бесконечно.

Отметим также, что существенный вклад в теорию стабилизируемости систем с запаздыванием внесли работы А.В. Ильина, В.М. Марченко, А.В. Метельского, В.В. Карпука В.В. Фомичева А.С. Фурсова, Ю.С. Осипова, R. Rabaha., G.M. Sklyara, P. Ostalczyka, L. Pandolfi [PA1] и др. 

Хотелось бы отметить работу [К1], в которой рассматривается вопрос стабилизации для обыкновенных динамических систем. Особенность ее заключается в том, что она учитывает специфику многих прикладных задач [К1]. Стабилизация линейных динамических систем осуществляется при помощи малоинерционных управлений. В продолжении данной работы [К2] был построен непрерывный стабилизатор и описан способ его работы.

Обобщение задачи стабилизируемости системы является задача модальной управляемости (управление спектром системы). Историю развития исследований по вопросам модальной управляемости можно проследить по работам [М2, М34, М35, М37] и ссылкам в них. Задачи модального управления объектами с запаздываниями рассматривались в работах Ю.С. Осипова, В.И. Булатова, Т.С. Калюжной, И.К. Асмыковича, В.М. Марченко, А.В. Метельского, A.Z. Manitius, A.W. Olbrot и др. 

С целью решения задач полной управляемости, стабилизации, модальной управляемости и др. задач применяются различного рода регуляторы. В настоящее время существует несколько принципов, на которых базируются все типы регуляторов, применяемых при конструировании систем управления: принцип программного управления, принцип компенсации, принцип обратной связи, принцип комбинированного управления. Остановимся более подробно на принципе обратной связи, наиболее используемом в наше время. Принцип обратной связи используется для создания замкнутых систем управления, обладающих требуемыми характеристиками. Основным его достоинством является универсальность, возможность его использования в условиях отсутствия информации о возмущающих воздействиях. Он нашел широкое применение в промышленности, робототехнике, а также присущ живым организмам и обществу [К6]. Примеры устройств, функционирующих по принципу обратной связи можно изучить в работе [К6].

При построении математических моделей в различных приложениях, таких как теория электрических цепей, оптимальное управление, автоматическое регулирование, теория переноса нейтронов, в различных экономических задачах часто используются блочные алгебро-дифференциальные системы [О2]. В литературе для обозначения таких систем применяются и иные названия, например, сингулярные, неразрешенные относительно старших производных, вырожденные, дифференциально-алгебраические.

Впервые такие системы были рассмотрены в 1940 году Н.Н. Лузиным [Л1], и 1966 году Ф.Р. Гантмахером [Г8]. Позднее, исследования алгебро-дифференциальных систем проводили независимо друг от друга две группы математиков: Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков [Б2, Б3, Б4] и C.W. Gear, S.L. Campell, L.R. Petzold, K.E. Brenan [CA2, CA3, CA4, CA5, BR3]. Так же изучением алгебро-дифференциальных систем занялись математики Германии и Швейцарии, такие как R. Maerz, Е. Griepentrog, М. Hanke, R. Lamour, Е. Hairer, Ch. Lubich и др. Начало систематического исследования алгебро-дифференциальных систем (АДС) и численных методов их решения положил Ю.Е. Бояринцев. В своей работе [Б4] Ю.Е. Бояринцев ввел аппарат базовых матриц для исследования АДС. В работах А.А. Щегловой [Щ1, Щ2, Щ3] была рассмотрена проблема разрешимости и изложены алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. В работах P. Kunkel, V. Mehrmann [KU6, KU7] для линейных АДС постоянного ранга был построен аналог канонической формы, на основе которого осуществляется процесс понижения индекса. Этот подход также применяется для нелинейных АДС. Для вполне регулярных алгебро-дифференциальных систем в [М11] изучены вопросы полной управляемости и полной конструктивной идентифицируемости.

Вопросам управляемости, наблюдаемости и другим оптимизационным задачам для алгебро-дифференциальных систем посвящены работы такие математиков как М.В. Булатова [Б6], В.В. Крахотко, Г.П. Размысловича, О.Н. Поддубнай, В.Ф. Чистякова, А.А. Щегловой, В.Е. Хартовского [Х11], С.А. Минюка, А.В. Метельского, S.L. Campbell, P. Kunkel [KU4], E.L. Yip, R.F. Sincovec, L.K. Nicols W.J. Terell и др.

Отдельный класс систем образуют так называемые сингулярно- возмущенные системы с запаздыванием. В работах Т.Б. Копейкиной [К14, К15, К16, К17] методами определяющего уравнения и пространства состояний изучены различные вопросы управляемости и наблюдаемости таких объектов. В работе [WE3] приводятся необходимые и достаточные условия управляемости вырожденными системами, в [WE2] получена каноническая форма таких систем.

 



Основные методы исследования



Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с желаниями человека. Эта задача естественным образом распадается на две совершенно различные части [К4].

	Необходимо получить математическое описание динамических свойств физической системы (объекта), подлежащей управлению.

	Необходимо найти «средство» достижения желаемого поведения управляемой системы.

Первая из этих задач по существу есть задача моделирования: необходимо предсказать динамику поведения объекта с помощью математической модели с точностью, по крайней мере, не меньшей, чем требуемая точность управления. Этой моделью объекта может быть динамическая система. Требуемая модель получается в результате физических экспериментов или с помощью известных физических законов. Построение конкретных моделей обычно относится к компетенции физиков и не входит в компетенцию ни специалистов по теории управления, ни даже по теории систем.

После того как модель объекта построена, можно переходить ко второй, чисто математической части задачи. Различные «средства», позволяющие осуществлять управление, создаются на базе высокоразвитой технологии, как правило, с привлечением вычислительных машин, для которых математическое описание часто (но, конечно, не всегда) играет роль обычных технических чертежей. Другими словами, вторая половина проблемы такова, что для ее решения требуется некоторый математический результат (теорема). Верно и обратное, каждое эффективное средство управления представляет собой некоторый математический результат.

Центральное место в настоящем диссертационном исследовании занимает задача о возможности управления системами с запаздыванием посредством регуляторов по типу обратной связи. Предполагается, что исходные системы не обладают свойством полной управляемости, то есть являются системами неполного ранга. 

При исследовании сформулированной задачи используются математические аппараты линейной алгебры, математического анализа и функционально-разностных уравнений.

Во второй главе диссертации исследуется линейная автономная регулярная алгебро-дифференциальная система неполного ранга с соизмеримыми запаздываниями в управлении. Изучается задача успокоения решения исходной системы. Получено необходимое и достаточное условие существования управления, приводящего решение исходной системы в ноль и удерживающее его там в течении любого промежутка времени (включая бесконечно большой). Управление системой осуществляется при помощи двух видов регуляторов: дифференциально-разностного и интегрального. Дифференциально-разностный регулятор используется для обеспечения успокоения решения исходной системы, однако, если необходимо обеспечить замкнутой системе асимптотическую устойчивость, то используя данный вид регулятора это не всегда возможно. Если спектр исходной системы будет содержать инвариантные неотрицательные значения, то при любом выборе коэффициентов дифференциально-разностного регулятора их не исключить. Однако, используя интегральный регулятор всегда возможно обеспечить асимптотическую устойчивость замкнутой системе и любой наперед заданный конечный спектр. Основной подход к исследованию свойства управляемости регулярных алгебро-дифференциальных систем основывается на использовании теории базовых матриц Бояринцева Ю.Е. [Б3], что позволяет получить критерии разрешимости рассматриваемых задач в терминах исходной системы.

В третьей главе диссертации изучаются системы запаздывающего типа неполного ранга. Получено необходимое и достаточное условие существования управления, приводящего решение исходной системы в ноль и удерживающее его там в течении любого промежутка времени. Для управления системой используется дифференциально-разностный регулятор по типу обратной связи переменной структуры. Основными преимуществами указанного регулятора являются то, что замкнутая им система остается системой запаздывающего типа, спектр замкнутой системы конечен. Возможно, также, обеспечить замкнутой системе и асимптотическую устойчивость. Для этого необходимо воспользоваться результатами работ [М16, М12]. Однако, в этом случае в замкнутой системе, вообще говоря, появится распределенное запаздывание. Задача о возможности успокоения решения исходной системы и назначения конечного спектра замкнутой сводятся к задаче о выборе коэффициентов регулятора таким образом, чтобы обеспечивалась точечная вырожденность замкнутой системы в направлениях, отвечающих компонентом разомкнутой системы. Для построения коэффициентов регулятора применялись методы теории целых функций.

Так же в третьей главе предложено обобщение результатов, полученных для систем запаздывающего типа на системы нейтрального типа с непрерывным решением. В итоге были получены необходимые и достаточные условия существования управления, приводящего решение исходной системы нейтрального типа в ноль и удерживающее его там в течении любого промежутка времени. Доказательство основных результатов носит конструктивный характер, в ходе которого указана процедура построения регуляторов.

В четвертой главе диссертационного исследования изучаются системы нейтрального типа. В пункте 4.1., для систем нейтрального типа без запаздывания в управлении рассматривается задача полной управляемости. Успокоение системы предлагается осуществить с помощью динамического регулятора по типу обратной связи по состоянию. Коэффициенты регулятора строятся в два этапа. На первом этапе обеспечивается системе нейтрального типа характеристический квазиполином запаздывающего типа. На втором этапе обеспечивается точечная вырожденность замкнутой системы в направлениях, отвечающих компонентом разомкнутой системы, а также ее конечный спектр. Возможно, также, обеспечить замкнутой системе и асимптотическую устойчивость. Для этого необходимо воспользоваться результатами работ [М16, М12]. Кроме того, стоит отметить, что характеристический квазиполином замкнутой системы будет являться полиномом, поэтому из асимптотической устойчивости замкнутой системы будет следовать ее экспоненциальная устойчивость [21, c.321]. 

В пункте 4.2. для систем нейтрального типа с многоми запаздываниями в состоянии и управлении рассматривантся вопрос о возможности успокоения ее решения. В работе получено необходимое и достаточное условие существования управления, приводящего решение исходной системы в ноль и удерживающее его там в течении любого промежутка времени. Для управления системой используется трехконтурный дифференциально-разностный регулятор по типу обратной связи переменной структуры. Коэффициенты первого контура выбираются таким образом, чтобы преобразовать исходную систему к системе с новым управлением, которая, в отличие от исходной, обладает свойством полной управляемости; а также, обеспечить принадлежность замкнутой системы к классу линейных автономных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями. Второй контур строится так, чтобы обеспечить системе замкнутой первы и вторым контуром характеристический квазиполином запаздывающего типа. Коэфициенты третьего контура выбираются таким образом, чтобы в системе замкнутой всеми тремы контурами вырождались первые компоненты ее фазового вектора, соответствующие компонентам исходной системы. 

В пункте 4.3. настоящего исследования изучается система нейтрального типа с одним запаздыванием в состоянии и управлении. Работа посвящена изучению следующей задачи управления для линейной автономной дифференциально-разностной системой нейтрального типа: требуется выбрать управляющее воздействие, приводящее решение системы в ноль и удерживающее его там любое заданное время. Изучается возможность такого управления системой в случае отсутствия у нее свойства полной управляемости и управляемости. Приводятся необходимые и достаточные условия, при которых класс управляемых начальных функций остается достаточно широким (образует всюду плотное множество в пространстве начальных функций), что позволяет использовать подобные системы в реальных приложен.......................