Метод моделирования на уроках геометрии в основной школе с использованием GeoGebra (на примере практико-ориентированных задач на построение)

Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования города Москвы
«Московский педагогический государственный университет»
Математический факультет
Кафедра геометрии



Галкина Мария Алексеевна

Метод моделирования на уроках геометрии в основной школе с использованием GeoGebra (на примере практико-ориентированных задач на построение)



МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

Направление подготовки - 050100.62 Педагогическое образование
Профиль - Математика
(очная форма обучения)




Научный руководитель:							          Чуйкова
кандидат педагогических наук,	           (подпись)       Наталия Владимировна
доцент           



Рецензент:										       
кандидат педагогических наук, 		   (подпись)	            
доцент	



Зав. кафедрой: 									        Атанасян
доктор педагогических наук,	                       (подпись)	             Сергей Левонович
профессор,



Москва 2017
Оглавление
                                                                                                                                                      стр.
Введение	3
Глава ?.  Теоретические основы моделирования и формирования умения моделировать у учащихся основной школы с использованием GeoGebra	6
§ 1. Моделирование как метод познания	6
§ 2. Использование моделирования в обучении. Связь наглядности и моделирования.	10
§ 3 Психолого-педагогические особенности формирования умения моделировать у учащихся основной школы	16
§ 4 Возможности различных ИГС в формировании умения моделировать у учащихся основной школы…………………………………………………….23
   § 5 Условия формирования умения моделировать на уроках геометрии в 5-6 и 7-9 классах c использованием GeoGebra……………………………………….

Глава ??.   Формирование умения моделировать у учащихся основной школы при решении практикоориентированных задач на построение с использованием GeoGebra	31
§ 1 Обзор практико-ориентированных задач в действующих учебниках геометрии	31
§ 2 Разработка цикла практико-ориентированных задач, направленных на формирование умения моделировать у учащихся основной школы	39
§ 3 Методика использования разработанного цикла практико-ориентированных задач на формирование умения моделировать у учащихся 5-6 и 7-9 классах на уроках геометрии c использованием GeoGebra	43
§ 4 Эксперимент и обработка его результатов	43
Заключение	52
Библиография	56
Приложение	58







Введение

    Объект исследования -  процесс обучения геометрии  в основной школе
    Предмет исследования -  формирование умения моделировать у учащихся на уроках геометрии в основной школе
    Цель исследования -  разработать цикл практико-ориентированных задач по геометрии на построение и описать методику их использования для формирования умения моделировать на уроках геометрии в основной школе с использованием GeoGebra
    Предмет, объект, цель исследования определили постановку и решение следующих задач.
    Задачи исследования:
     1) раскрыть сущность понятий «модель», «моделирование», «умение» «умение моделировать»;
     2) рассмотреть связь наглядности и моделирования в обучении;
     3) изучить и описать психолого-педагогические особенности учащихся  основной школы влияющие на формирование умения моделировать;
     4) проанализировать и описать возможности различных ИГС в формировании умения моделировать у учащихся основной школы, отобрать наилучшую;
     5) определить и обосновать уровни формирования умения моделировать у  учащихся основной школы на уроках геометрии;
     5) проанализировать учебные пособия, входящие в федеральный перечень на 2016-2017 г на наличие практико-ориентированных задач и возможности формирования умения моделировать у учащихся основной школы на уроках геометрии;
     6) разработать цикл практико-ориентированных задач направленный на  формирование умения моделировать у учащихся основной школы на уроках геометрии с использованием GeoGebra;
     7) разработать методику использования цикла практико-ориентированных задач на уроках математики и геометрии в 5-6 классах с использованием GeoGebra, направленного на формирование умения моделировать.
     Структура магистерской диссертации обусловлена предметом, целью и задачами исследования.  Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, в количестве 39 источников, и одного приложения.
























Глава ?.   Теоретические основы моделирования и формирования умения моделировать у учащихся основной школы с использованием GeoGebra
§ 1. Моделирование как метод познания
    Метод есть душа знания, его жизнь,
     им порождаются отдельные научные системы,
    им же они и низвергаются, 
    как недостаточно разрешающие задачу научного построения.
    С. И. Гессен
    
    Моделирование имеет большое значение в современной науке: оно считается, одним из эффективных и надёжных методов научного исследования, который позволяет объективно и всестороннее изучить многие явления, объекты, процессы при минимальных потерях и риске; и используется во всех её областях: в математике, химии, архитектуре, живописи и т.д.  
    Например, художник на полотне моделирует образы живых и не живых предметов, скульптор моделирует образ человека в своей скульптуре, архитектор моделирует будущее здание на картонном макете и т.д. Более того, с детства нас окружает большинство игрушек, в большей или меньшей степени моделирующих форму реально существующих предметов и объектов: железной дороги, самолётов, автомобилей.
    Таким образом, можно утверждать, что в своей жизни человек постоянно оперирует моделями тех или иных реальных объектов, процессов, явлений.
    Своё начало моделирование берёт в античной эпохе, когда оно рассматривалось как способ отражения реальности. Достаточно вспомнить, что знаменитая антитеза геоцентрического и гелиоцентрического мировоззрений опиралась на две принципиально различные модели Вселенной, описанные в «Альмагесте» Птолемея и сочинении Николая Коперника «Об обращениях» небесных сфер.
    С другой стороны, только в 19 веке, моделирование широко войдёт в практику научного эксперимента, как особенный, универсальный метод научного познания, наряду с аналогией, синтезом, анализом.
    Примером, иллюстрирующим данный факт, может служить планетарная модель атома Резерфорда, напоминавшая Солнечную систему: вокруг положительного заряженного ядра вращаются отрицательно заряженные электроны. В данном примере Эрнест Резерфорд использует, так называемое, мысленное моделирование. 
    Таким образом, можно заметить, что моделирования никогда не исчезало из методологического арсенала науки.
    Тем не менее, для того чтобы дать чёткое определение моделирования и понять, как, где оно используется, необходимо установить содержание понятия модели, которое является основополагающим в изучаемом нами методе. Поскольку, подобно тому, как в процессе трудовой деятельности между человеком и природой стоит орудие труда, так и при моделировании между познающим субъектом и исследуемым объектом находится модель.
    Однако определить данное понятие однозначно, не так просто, так как термин «модель», вошедший в науку в прошлом веке, получил большое количество различных значений, притом не всегда связанных друг с другом. 
    Изучая этимологический анализ слова «модель», стоит отметить, что данное слово произошло от латинского «modelium», что означает: мера, образ, способ.  И в общем случае  модель означает: « образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного или массового воспроизведения, а также тип, марку какого-либо изделия, конструкции» [3, с. 29].
    Однако, например, в математических науках под моделью понимают теорию, обладающую структурным подобием по отношению к другой теории; в логике - формализованную или формальную систему; в среде художников - натурщика; в медицине – картину человеческой болезни, изучаемую экспериментально на другом живом существе и т.д.
    Более того, стоит отметить, весьма интересные подсчеты, сделанные лингвистом Калифорнийского университета Чжао Юань-Женем  [39]. Рассмотрев только 15 главным образом лингвистических контекстов, он установил, что в них термин «модель» употребляется в тридцати смыслах, которые, по его мнению, близки друг другу, и еще в девяти отличных» 
    Отсюда, в связи с многозначностью рассматриваемого термина, под моделью мы будем понимать: искусственно созданный объект, например: в виде схемы, знаковых форм или формул и т.д., который, отображает и воспроизводит в более простом виде структуру исследуемого объекта, взаимосвязи и отношения между элементами этого объекта. А под моделированием - изучение каких-либо объектов посредством их моделей с дальнейшим переносом полученных данных на оригинал. [11, с. 62; 28, с. 30].
    Исходя из, выше введённых определений, можно определить следующую структуру моделирования, как метода научного познания:
    1. построение модели
    2. изучение модели
    3. возращение к исходному объекту
    Таки образом, можно сделать вывод, что в процессе моделирования, модель и оригинал соотносятся друг с другом.
    Например, для того, чтобы избежать потопления корабля, кораблестроителям необходимо предварительно провести исследования на его уменьшенной копии, а после, при выявлении неточностей или дефектов, исправить их на модели, чтобы не допустить эти неточности при построении большого корабля.
    Итак, можно заметить, что моделирование, часто используемый и важный метод. Однако, в то же время, оно является и коварным методом, поскольку как правильно заметил К. Дим: «…the modeling activity can be done in several languages, often simultaneously…» (моделирование может происходить на нескольких языках, часто одновременно) [38, с. 3]. В результате чего, могут появляться модели, не имеющие ничего общего с моделируемой действительностью.
    Например, для продажи билетов в кино, кассиру кинотеатра необходим план (модель) зала, в котором указаны все посадочные места. Данная модель будет отвечать моделируемой действительности, однако, если её заменить, к примеру, на план всего кинотеатра, то работа кассира станет невыполнимой. И новая модель не будет иметь ничего общего с моделируемой реальностью.
    В связи с этим, в науке было введено понятие эффективности моделирования, т.е. соответствия предлагаемой модели действительности, её адекватность, валидность, которые, с одной стороны, указывают на границы допустимых при моделировании упрощений, с другой стороны - определяют исследовательское поле применяемой модели [11, с. 13].
    Например, если мы захотели сделать бумажную модель самолёта. Чтобы наша модель соответствовала действительности, нам потребуется отразить в нашем самолёте корпус с носовой и хвостовой частью, а также крылья, чтобы он, не смотря на короткое время и небольшую высоту, летел подобно настоящему самолёту. В то же время, при моделировании, мы можем допустить следующие упрощения: наименование и количество деталей необходимых для построения оригинала самолёта, требования к квалификации специалистов и т.д.  
    В результате, подводя итог данного параграфа, мы ещё раз отметим те основные положения, которые нам понадобятся для дальнейшего изложения материала и обоснования построения и использования моделей в обучении в целом, и в частности в обучении математике:
    1. Рассмотрев становление моделирования в науке, нами было отмечено, что со временем оно не только изменяло своё назначение в разных науках, но, также становилось основным методом для изучения любой науки. Следовательно, это ещё раз подтверждает не только актуальность выбранной нами темы исследования, но и показывает, важность и эффективность, применения самого моделирования.
    2. Выявлена структура моделирования, как метода научного познания.
    3. Даны определения модели, моделирования, эффективной модели. 
§ 2. Использование моделирования в обучении. Связь наглядности и моделирования.
    Образовать человека, существо самое непостоянное 
    и самое сложное из всех, 
    есть искусство из искусств.
     Г. Назианзин
    
    Как мы выяснили в § 1 главы ?, моделирование как метод научного познания используется уже очень давно, однако, проблема использования моделирования в обучении разрабатывается только с 60-х годов 20 века. Несмотря на то, что первые модели стали использоваться ещё в древнем мире, когда жрецы, музыканты, ремесленники должны были передавать свою профессию детям, для освоения которой, при обучении использовались детские игрушки: модели земледельческих орудий, мельниц, кузниц и пр.
    Отсюда, использование моделирования в обучении связано с тем, что учащиеся сначала действуют с моделями под руководством учителя, а затем самостоятельно. 
    У. Е. Минтоном [14] было обнаружено, что существенные признаки и связи, зафиксированные в модели, становятся наглядными для учащихся тогда, когда эти признаки, связи, были выделены самими детьми в их собственном действии, т.е. когда они не только осуществляли действия с моделью, но и сами участвовали в создании модели. В противном случае, модель для учащихся становится не наглядной, поскольку ими не будет понят сам принцип создания данной модели и условия для её создания, а только будет виден конечный результат и конечный образ.
    Следовательно, построенные учащимися модели должны обеспечивать наглядность существенных свойств и связей, в то время как, все остальные свойства (несущественные) должны отбрасываться.
    В связи с этим, встаёт ряд очень важных вопросов о соотношении наглядности и моделирования в обучении: как они связаны между собой, что их связь даёт не только учителю, но и учащемуся, а самое главное, как правильно использовать в обучении связь моделирования и наглядности? 
    Чтобы ответить на поставленные нами вопросы, нам требуется выяснить, что такое наглядность, что такое моделирование (см. ? главу § 1), каковы условия применения наглядных пособий и использования моделей в обучении. 
    Более того, чтобы показать, как связаны между собой наглядность и моделирование: в чём их сходство и принципиальное различие, необходимо заглянуть в историю их возникновения и развития в обучении. 
    Наглядность, как и моделирование, появилась очень давно, возможно, даже раньше, в связи с потребностью передачи информации об отсутствующем предмете, процессе или явлении. Ярким примером, иллюстрирующим данный факт, могут служить дошедшие до нас наскальные рисунки. 
    С другой стороны, наглядное обучение, предположительно, появится гораздо позже, вместе с первыми школами. И будет широко использоваться уже в Древнем Египте, Индии, Китае, Греции и Риме, ещё до появления письменности, когда обучение происходило устно и при помощи наглядных примеров. 
    Но, несмотря на то, что сегодня, история наглядности насчитывает не одну тысячу лет, самого термина «наглядное обучение» как и его чёткого теоретического обоснования до сих пор нет. Хотя, ещё в 18 веке, основоположник принципа наглядности, Я. А. Коменский дал не только обоснование данному принципу, но, а также ввёл чёткое определение наглядности, назвав его «золотым правилом дидактики». 
    Благодаря чему, в общем случае, под наглядностью в обучении, стали понимать дидактический принцип, согласно которому обучение строится на конкретных образах, непосредственно воспринятых учащимися: «Пусть будет для учащих золотым правилом: все, что только можно, представлять для восприятия чувствами: видимое - для восприятия зрением, слышимое - слухом, запахи - обонянием, подлежащее вкусу - вкусом, доступное осязанию - путем осязания» [16, с. 384].
    Принцип наглядности Яна Амоса Коменского был поддержан и другими великими педагогами: И. Г. Песталоцци, И. Ф. Гербертом, Ф. Дистервегом, Ф. Фребелем, К. Д. Ушинским и т.д., которые не только придерживались его, но и развивали, дополняя новыми теоретическими положениями и обосновывая новые подходы к практическому применению наглядности в обучении.
    Например, в начале 19 века, Фридрих Фребель [24] рассматривал наглядность как созерцание, активность, считая, что только через созерцание, при помощи наглядных средств, происходит образование представлений и понятий, которые затем должны найти своё выражение через активность, через определённый вид деятельности. 
    В результате чего, в начале 20 века, продвигая идею о включении действия в обучение, такие педагоги как З. И. Калмыкова, В. Г. Болтянский, Л. М. Фридман, В. П. Вахтеров, пришли к тому, что высшей формой наглядности является действие с предметом. После чего, Василий Порфирьевич Вахтеров заменил термин «наглядное обучение» на «предметное», считая, что, «Дети никогда не довольствуются одним зрением. Им надо ощупать предмет, надо постучать, чтобы узнать, как он звучит, надо поднять его, чтобы узнать, как он тяжел, надо подбросить его, чтобы узнать, разобьётся ли он. Поэтому слова «наглядное обучение» неверно выражают то, что так обыкновенно называют. Вернее, будет сказать «предметный метод обучения» [5, с. 75].
    Таким образом, можно сделать вывод, что в своих исследованиях великие педагоги пришли к тому, что в обучении недостаточно представить учащемуся предмет, чтобы он осознал все, что в нем объективно содержится. Для осознания сущности предмета необходимо соответствующим образом организовать деятельность учащихся.
    Например, при изучении многогранников в 10 классе, для наглядности можно использовать обычный кубик, но учителю мало, просто показать его, ему ещё требуется организовать деятельность учащихся с этим кубиком, для исследования количества его рёбер, граней, вершин и т.д. Поскольку, простое представление модели объёмного тела, будет недостаточным для осознания учащимися всех важных свойств, изучаемого многогранника.
    Такую деятельность учащихся учитель как раз может реализовать при предметном (модельном) обучении, которое позволяет служить средством целостного отражения отдельного и общего, а не только давать представление о внешних сторонах изучаемого объекта, в отличие от наглядного обучения.
    В результате, можно заметить, что человек, сконструировавший ту или иную модель, предварительно создаёт у себя её наглядный образ, после чего воплощает его. Поэтому, изучая, построенную модель, он видит не просто конструкцию или объект, не просто какой-то процесс или реальное явление, а тот наглядный образ моделируемого объекта, который у него уже имеется. В результате чего, получается, что, наглядность становится лишь частью моделирования: одним из свойств моделей. 
    Таким образом, из выше сказанного, мы можем сделать вывод, что понятия модели и моделирования в обучении неразрывно связаны с принципом наглядности, который, как объективность и адекватность (см. ? главу § 1) во многом определяет возможности, тип модели и её функции. 
    Поэтому, при использовании моделирования в обучении, стоит помнить, что любая модель должна не только отвечать реальной действительности, но, а также быть наглядной. Поскольку любая модель, являющаяся для учащихся наглядной, даёт возможность создания у них наглядных образов познаваемых объектов, которые выражают самые существенные свойства объектов, их внутреннюю структуру, сущность.
    Итак, в нашем исследовании была рассмотрена связь наглядности и моделирования, а также сделаны соответствующие выводы, однако нам ещё только предстоит выяснить, каковы же условия применения моделей в обучении. Рассмотрим их.
    Начнём с того, что использование моделирования в обучении имеет два аспекта:
      1)  Моделирование служит тем методом познания, который должен быть усвоен учащимися в результате обучения, которым они должны овладеть. 
    Поскольку, изучая любой предмет в школе, будь то математика, физика, биология и т.д., учащийся, не просто получает знания из определённой области, но и он овладевает основами соответствующих наук. То есть, обучение — это не просто запоминание некоторых фактов и закономерностей, а овладение идеями и методами, изучаемой науки. Одним из таких методов в науке является метод моделирования (см. ? главу § 1).
    2) Моделирование является тем средством, без которого невозможно полноценное обучение. 
    Поскольку, современному человеку, живущему в мире символов и знаков (математических формул, языка жестов и т.д.), для гармоничного развития его личности, необходимо овладеть знаково-символическими универсальными учебными действиями, позволяющими устанавливать взаимосвязь между реальными объектами и миром символов. 
    В нашем исследовании, мы будем рассматривать формирование у учащихся умения моделировать, поскольку сформированность данного умения, позволяет учащемуся овладеть моделированием, как средством обучения, как методом познания, позволяет использовать данный метод не только в обучении в целом, в обучении математике в частности, но и в реальной жизни.
    В нашем исследовании, под умением мы будем понимать определение Т. Б. Булыгиной [4]: способность осознанно выполнять определенное действие.
    Стоит отметить, что данное определение умения нами было выбрано не случайно: с учётом положений теории поэтапного формирования действий П. Я. Гальперина [7], в которых понятие «умение» определяется как промежуточный этап овладения новым способом действия, основывающийся на каком-либо правиле и соответствующий правильному использованию знания в процессе решения определенного класса задач.  
    В связи с этим, под умением моделировать, мы будем понимать овладение учащимися действием моделирования, которое согласно исследованиям, Н. Г. Салминой [29], включает в себя следующие действия:
    1. анализ материала, подлежащего моделированию (выделение смысловых частей - системы элементов и их отношений, которые подлежат моделированию);
    2. «перевод» с языка реальности на язык моделей (особое внимание уделяется принципу взаимно-однозначного соответствия между выделенными элементами материала и элементами модели, без такого соответствия модель не будет давать правильного представления об изучаемом объекте или явлении, или как говорят, будет неадекватна);
    3. действие преобразования модели, позволяющее учащимся перегруппировывать элементы модели, дополнять ее недостающими элементами и т.д.;
    4. соотнесение полученной модели с реальностью (с тем, что моделировалось) - это действие позволяет получить новую информацию о моделируемом объекте, глубже проникнуть в его суть, что в свою очередь, как раз и является основной целью моделирования. 
    Итак, подводя итог данного параграфа, следует отметить, что, несмотря на то, что моделирование как метод познания, играет большую роль (поскольку познание неразрывно связано с обучением), в обучении оно имеет существенные отличия, по сравнению с данным методом в научном познании. 
    Как правильно отметил Б. Д. Эльконин: «Модели нужны не для того, чтобы ими пользоваться, а чтобы модельно мыслить... Прежде всего, ценны не столько полученные модели, сколько путь-метод» [27, с. 190]. Что в свою очередь, ещё раз подтверждает актуальность нашего исследования.
§ 3 Психолого-педагогические особенности формирования умения моделировать у учащихся основной школы

    Как уже было отмечено в начале, основным механизмом реализации целей и задач современного образования является включение учащихся разных возрастных категорий в активную учебно-познавательную деятельность. Нацеленность процесса обучения на формирование приемов умственной деятельности позволяет реализовать в практике обучения системно-деятельностный подход, базирующийся на теоретических положениях поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина [7], теории учебной деятельности В. В. Давыдова [10].
    Следование положениям теории учебной деятельности позволяет сосредоточить внимание на ключевых компонентах этой деятельности, и создает условия для формирования универсальных учебных действий, которые являются основой учебно-воспитательного процесса и направлены на обеспечение способности к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса и способность субъекта к саморазвитию.
    Особую группу универсальных учебных действий (УУД) составляют познавательные УУД, обеспечивающие конкретные способы преобразования учебного материала. Действие моделирования, в свою очередь, входит в эту группу. 
    Формирование у учащихся действия моделирования, имеет большое значение, поскольку оно направлено не только на оптимизацию процесса обучения, но, а также позволяет отражать учебную информацию в более удобном, легко воспринимаемом виде, формировать у учащихся основные мыслительные операции. Это в свою очередь, ещё раз указывает на необходимость формирования у учащихся умения моделировать, которое достигается через овладение учащимися универсальным учебным действием моделирования.
    Между тем, необходимо отметить, что модели являются теми объектами, которые могут значительно усложнить понимание учебного материала, если оперировать ими без должной подготовки, сводя всю деятельность учеников только к формальному заучиванию правил действий с ними без выяснения их смысловой стороны.
    В связи с этим, чтобы не допустить неправильное усвоение учебного материала, не снизить мотивацию учащихся к учебно-познавательной деятельности, учителю необходимо учитывать в своей работе психолого-педагогические характеристики формирования навыков моделирования. Поскольку для разных возрастных категорий будут задействованы свои средства и методики по формированию указанного навыка в обучении.
    Рассматривая возрастные и психологические особенности учащихся основной школы, стоит отметить, что они не только помогают учителю выбрать способы, методы для формирования умения моделирования, но, а также являются предпосылками к выбору для дальнейшего формирования именно этого учебного действия.
    Рассмотрим их:
    1) Главным видом деятельности для подростка является учение.  
    Его готовность ко всем видам учебной деятельности и познавательная потребность, являются большим достоинством данного возраста, которую учитель в свою очередь должен правильно уметь использовать для достижения учебных целей.
    Вследствие этого, при формировании, у учащихся среднего школьного возраста, умения моделировать, учитель сможет как удовлетворить их познавательный интерес, так и углубить знания по изучаемому предмету. Поскольку известно, что человек лучше всего запоминает те знания, которые использовал в собственных действиях. Все остальное, не нашедшее практического применения, обычно рано или поздно забывается.
    В результате чего, составление моделей реальных объектов, ситуаций или явлений, а также работа с ними, позволяет учащемуся не только усваивать полученные знания, но и применять их для решения учебных задач.
    2) Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. 
    Для подростков очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний, понять, как же связаны учебные предметы с реальной жизнью. Это связано с усиленным ростом самосознания современного подростка и с преобладанием интереса к закономерностям.  В своих работах В. А. Сухомлинский называл духовной потребностью отрочества в абстрагировании, потребностью охватить мыслью большое число фактов [30]. Отсюда, многие учебные предметы нравятся подростку потому, что они отвечают его потребностям всесторонне развитого человека на данный момент.
    Поэтому учителю важно не просто поддерживать убеждения подростков в том, что только образованный человек может быть по-настоящему полезным членом общества, но и показывать связь предметов между собой, и с реальной жизнью.
    В этом случае, включение учителем в свои уроки задач, требующих различных способов составления модели условия задачи: практико-ориентированные – задачи из окружающей действительности, сюжет которых представляет собой несложную практическую ситуацию на основе изученных формул, свойств фигур и т.д, требующие создания и анализа математической модели для её решения решит указанную проблему.
    Более того, такие задачи показывают, как в действительности учебный предмет связан с реальными жизненными, профессиональными ситуациями.
    Тогда будет не потеряна мотивация подростка к учению и решён ряд проблем, связанных с возрастными особенностями учащихся: отрицательное отношение к готовым знаниям, репродуктивно-воспроизводящим видам учебной деятельности; отсутствие понимания связи учебных предметов с возможностью их использования в будущем.
    Таким образом, обобщая полученные нами результаты, психолого-педагогической литературы, выделим основные условия, возникновения и развития у учащихся подросткового возраста интереса к учению, за счёт формирования у них умения моделировать:
    1.	организация обучения способствует развитию познавательных интересов, любви к изучаемому предмету и к самому процессу умственного труда, поскольку ученик имеет возможность работать с моделью, решать с её помощью новые, ранее неизвестные задачи и самостоятельно подбирать или составлять модели для решения той или иной задачи;
    2.	учебный труд становится для подростка интересным, поскольку он разнообразен (за счёт использования не только абстрактных, но и реальных моделей в обучении);
    3.	присутствует понимание потребности, важности, целесообразности изучения данного предмета в целом и отдельных его разделов;
    4.	изучаемый материал способствует возникновению интереса к новому материалу;
    5.	яркость, эмоциональность учебного материала.
    Наконец, в завершении данного параграфа, как итог, мы выделим, принципы, являющиеся основой для формирования умения моделировать у учащихся основной школы:
    1) Принцип перевода реальности (или текста) в модель – учёт следующих положений:
    1.1. адекватность модели (выбранная модель для решения той или иной учебной задачи должна быть удобной для действия перевода и способствовать выявлению скрытых отношений между исследуемыми объектами);
    1.2. обобщённость (при переводе следует идти не от конкретного изображения реального объекта (или текста), а от условного изображения элементов и отношения между ними);
    1.3.  изоморфизм (при переходе от реального объекта к его модели должна быть сохранена однозначность соответствия между элементами объектов и их изображениями в модели);
    1.4. структурность (выделенные части объекта, процесса или явления должны по возможности образовывать законченную структуру).
    Данный принцип можно считать основным, поскольку он в себе содержит все основные требования к составлению модели и работы с ней, а также учитывает учебно-познавательные особенности учащихся среднего школьного возраста.
    2)  Принцип широкой трактовки понятия «моделирование».
    Понятие «моделирование» не должно трактоваться только с точки зрения универсального учебного действия. Поскольку, как уже было отмечено в I главе «моделирование» является эффективным и надёжным методом научного исследования, который используется во всех отраслях современной науки.
    Стоит отметить, что данный принцип очень важен, поскольку он позволяет раскрыть понятие и принципы формируемого у учащихся действия, учитывает их мотивационную сферу, своеобразие мышления, заключающегося в развитии абстракции. 
    3) Принцип самостоятельной ценности действия моделирования.
    Для традиционного подхода, принятого в частных методиках, характерно рассмотрение проблемы формирования умения моделировать как служебной задачи, актуализирующейся лишь при освоении той или иной дисциплины.  Однако формирование данного умения стоит рассматривать не как частный способ познания, а как основной путь формирования особого стиля жизни, при котором моделирование реальных объектов, процессов или явлений будет занимать ведущее место.
    В этих условиях работа по формированию умения моделировать у учащихся предстает как задача, имеющая самостоятельную ценность. Она – не просто один из путей занимательного изучения какой-либо дисциплины. Она – фундамент развития поведения, основанного на доминировании проявлений модельного типа мышления в различных жизненных ситуациях.
4)  Принцип практико-ориентированности.
    Формирование и развитие у подростков способов составления модели и работы с ней на примере какой-то одной предметной области не позволяет применять весь методический арсенал изучаемого действия. 
    Следовательно, привязывать занятия по формированию умения моделировать к какому-либо одному предмету будет ошибкой.
    Одним из учебных предметов, изучаемых в школе и являющимся «плодотворным полем» для формирования умения моделировать, по нашему мнению, будет выступать учебный предмет «Геометрия», т.к. он является основой развития большинства познавательных действий и имеет большие потенциальные возможности для формирования умения моделировать.
    Собираетесь ли вы делать ремонт, укладываете ли детали выкройки для минимального расхода ткани, подвешиваете ли фонарь над подъездом, чтобы охватить большую площадь светом, - во всем помогает геометрия.
    Более того, реализация этой возможности в процессе обучения геометрии позволяет учителю не просто обучать учащихся своему предмету, но и активировать их способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений.
§ 4 Возможности различных ИГС в формировании умения моделировать у учащихся основной школы.

Громадное значение для развития важнейшего параметра 
    математического мышления – 
    имеет динамическая картина, возникающая на дисплее…
В. И. Рыжик

    Согласно ФГОС основного общего образования необходимость овладения информационными технологиями в предметной области «Математика» определена следующими предметными результатами в области «Наглядной геометрии» в 5-6 классе для дальнейшего изучения на  углубленном уровне: изображение изучаемых геометрических фигур с помощью компьютерных инструментов; в области «Геометрии» для 7-9 классов для изучения на базовом и углубленном уровне: применение простейших программных средств и электронно-коммуникационных систем при решении математических задач  [].
    В связи с этим, в нашем исследовании мы будем рассматривать формирование умения моделировать на уроках геометрии с использованием интерактивных геометрических сред (ИГС), которые представляют собой программное обеспечение, позволяющее выполнять геометрические построения на компьютере таким образом, что при изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные также изменяются, сохраняя заданные отношения неизменными» [, с.85]
    Изучение геометрии в основной школе с использованием интерактивных геометрических сред позволит построить обучение с позиции развития способностей учащихся средствами данного предмета. А одним из таких средств  является моделирование. 
    Стоить отметить, что в ИГС система операций совпадает с системой характерной для самой геометрии, так, например, имеется возможность построить прямую по двум точкам, или проходящей через данную; провести окружность по трем точкам или по центру и радиусу и т.д. При этом интерактивная геометрическая среда будет иметь также и отличия: она.......................