Математическая теория катастроф

СОДЕРЖАНИЕ:

	Введение	3

	Глава 1.Математическая теория катастроф	5

	1.1.Семь фундаментальных катастроф по Тому	6

	1.2.Запись и классификация катастроф по Арнольду	12

	Глава 2.Теория хаоса	14

	2.1.Основные сведения	14

	2.2.Понятие хаоса	15

	2.3.Аттракторы	18

	2.4.Простые хаотические системы	20

	2.5.Теорема (порядок) Шарковского	21

	2.6.Применение	23

	Заключение	25

	Список литературы:	25




Введение

В начале 70-х годов стал популярен термин "катастрофа", обозначающий скачкообразные изменения, возникающие при плавных изменениях значений параметров. В популярных изданиях теория катастоф рекламировалась как переворот в математике, сравнимый с изобретением дифференциального исчисления. За последние 25 лет появились сотни публикаций, в которых теория катастроф успешно применялась в естествознании и технике. Опуб-ликованы также работы, в которых модели теории катастроф применялись в экономике, психологии, лингвистике, социологии. 

После периода эйфории, вызванного широкой саморекламой, появились более трезвые оценки применимости теории катастроф. Более того, выяснилось, что многие серьезные результаты были получены до провозглашения новой теории. 

Один из ведущих российских математиков В.И.Арнольд отмечает, что обоснованность теории катастроф существенно зависит от обоснованности исходных посылок. "Например, в теории хлопков упругих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение". 

Чаще всего неприятным сюрпризом для наблюдателя оказывается ситуация, в которой небольшие, постепенные изменения параметров ведут к неожиданно резкому, обвальному изменению поведения системы. Рассмотрим основные положения теории катастроф на качественном уровне, опуская математические детали. 

Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Г. Биргхоф, A. Колмогоров, M. Каретник, Й. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме С. Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Г. Биргхофом, Турбулентность и астрономические исследования в случае с А. Колмогоровым, радиотехника в случае с М. Каретником и Й. Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью течения жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея достаточной теории чтобы это объяснить.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении — простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы.




Глава 1.Математическая теория катастроф

Математическая теория катастроф - раздел математики, разработанный на базе математического моделирования необратимых процессов, разворачивающихся в необратимом физическом времени, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Термины "катастрофа" и "теория катастроф" были введены в физическую математику, а точнее - в математическое моделирование, Рене Томом (Ren? Thom) и Кристофером Зиманом (Christopher Zeeman) в конце 1960-х - начале 1970-х годов ("катастрофа" в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности "точки катастрофы" и построенная на этой основе классификация объектов.

Математическая теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике. Часто эту теорию называют без прилагательного "математическая": теория кактастроф, следует, однако, заметить, что при этом создается ситуация омонимии, когда одним термином обозначают различные предметы. Существует более ранее, чем математическая теория катастроф, теория катастроф в природе (палеонтологии и геофизике), разработанная классиком естествознания Жоржем Кювье два столетия назад.

Начало математической теории катастроф положили классические работы великого российско-немецкого математика Леонарда Эйлера по теории устойчивости - многообразной дисциплине, изучающей закономерности поведения систем под действием внешних воздействий. В работах Эйлера наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем. Действительно, именно механика как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами устойчивости. Эйлер впервые строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой (эластика Эйлера).

Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем). 

Основы теории особенностей гладких отображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1940-х - 1950-х годах, которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.

В конце 1960-х годов развитием этого направления занялся известный французский математик и филдсовский лауреат 1958 года Рене Том. Однако популярность идеи Уитни и Тома приобрели благодаря нескольким публикациям К. Зимана в 1970-х годах, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говоря о "революции в математике". Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Р. Тома, Т. Волла, К. Зимана и особенно В. И. Арнольда и его учеников (А. Н. Варченко, В. А. Васильев, А. Б. Гивенталь, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, А. А. Давыдов, В. М. Закалюкин, В. Д. Седых и др.).

1.1.Семь фундаментальных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

Катастрофа типа "Складка"

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа "складка"

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

Катастрофа типа "Сборка"

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a, b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это — пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф. Это — шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

Катастрофа типа "Ласточкин хвост"

Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа "ласточкин хвост"».



По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа "свёртка" пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа "свёртка"» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа "свёртка". Последняя картина Сальвадора Дали под названием "Ласточкин хвост" создана под влиянием этого типа катастроф .

Катастрофа типа "Бабочка"

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа "свёртка". 



В точке с поэтичным наименованием "бабочка" встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа "свёртка", две поверхности бифуркаций с точками возврата и скривая бифуркаций типа "ласточкин хвост". Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ? как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.


Гиперболическая омбилика


Эллиптическая омбилика


Параболическая омбилика



Зонтик Уитни - Кэли

Зонтиком эта поверхность называется потому, что уравнению, задающему поверхность, удовлетворяет и отрицательная часть оси Z - своего рода «ручка» зонтика.

1.2.Запись и классификация катастроф по Арнольду

В. И. Арнольд предложил классификацию катастроф, использующую глубокие связи с теорией групп Ли.

A0 — несингулярная точка: . 

A1 — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум . 

A2 — складка 

A3 — сборка 

A4 — ласточкин хвост 

A5 — бабочка 

Ak — бесконечная последовательность форм от одной переменной 

D4+ — кошелёк = гиперболическая омбилика 

D4- — пирамида = эллиптическая омбилика 

D5 — параболическая омбилика 

Dk — бесконечная последовательность других омбилик 

E6 — символическая омбилика 

E7 

E8 

В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству других простых групп Ли.

Применения теории катастроф

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного моделирования некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).




Глава 2.Теория хаоса 

Теория хаоса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику. Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре. В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова.

2.1.Основные сведения

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий, и небольшие изменения в окружающей среде могут привести к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону, и, в некотором смысле, являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения. Отдельная область физики — теория квантового хаоса — изучает недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики.

Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).

2.2.Понятие хаоса



Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где x ? 4 x (1 — x) и y ? x + y, если x + y < 1 (иначе x + y — 1). Здесь четко видно, что ряды значений x и y через какое-то время заметно отклоняются друг от друга хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические

В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотический определено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

Она должна быть чувствительна к начальным условиям.

Она должна иметь свойство топологического смешивания.

Её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5.

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincar?-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Топологическое смешивание

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание» как пример хаотической системы соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей.

Тонкости определения

Пример топологического смешивания, где x ? 4 x (1 — x) и y ? x + y, если x + y < 1 (иначе x + y — 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперек пространства

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности — имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2?. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2? является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

2.3.Аттракторы

Аттрактор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.

Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Странные аттракторы

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Эдвард Лоренц) — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера (Отто Рёcслер), которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно (H?non)). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

2.4.Простые хаотические системы

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решетку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах Стивена Вольфрама.

Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» является моделью тора, которую он продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Zhang и Heidel доказали, что трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям, и поэтому представляют собой стабильные решения.

Цепь Чуа является одной из простейших электрических цепей, генерирующих хаотические колебания.

2.5.Теорема (порядок) Шарковского 

Теорема Шарковского — это основа доказательства Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным периодом цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических орбит. Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивное измерение аттрактора, экспоненты Ляпунова, графики рекуррентного соотношения, отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения и оператор сдвига.

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, чтоa ? b {\displaystyle a\to b} a        b, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 ? …

? 3*2 ? 5*2 ? 7*2 ? 9*2 ? 11*2 ? 13*2 ? …

? 3*2? ? 5*2? ? 7*2? ? 9*2? ? 11*2? ? 13*2? ? …

…………………………………

? 2n ? 2n-1 ? … ? 25 ? 24 ? 2? ? 2? ? 2 ? 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечетных чисел на 2?, в k-й строке сверху — произведения нечетных чисел на 2 k ? 1 {\displaystyle 2^{k-1}}2^k-1. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, — так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки a , b , c, для которых

f ( a ) = b , f ( b ) = c , f ( c ) = a . Можно без ограничения общности считать, что a < b < c.

Тогда для отрезков I 0 = [ a , b ] и I 1 = [ b , c ] выполнено

f ( I 0 ) ? I 1 , f ( I 1 ) ? I 0 ? I 1 . 

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова w = w 0 w 1 … w k ? 1, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал I w, что f j ( I w ) ? I w j , j = 1 , … , k ? 2 , f k ? 1 ( I w ) = I w k ? 1 . Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода k: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово ? = ( w ) , | w | = k наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка I w выполнено

f k ( I w ) ? I w ,  поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения I0, I 0 {\displaystyle I_{0}}I1I 1 {\displaystyle I_{1}}, дополнение) её судьба это последовательность W? {\displaystyle \omega }, у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

2.6.Применение

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например, электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы, похожие на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности.

В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.

Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого 'сигнала' отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.

Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

Выбрать тестируемое состояние.

Найти несколько подобных или почти подобных состояний.

Сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат) или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределенную погрешность.

По существу .......................