СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Основные понятия задач нелинейного программирования 7
1.1 Постановка задачи нелинейного программирования 7
1.2 Методы нелинейного программирования 10
1.2.1 Метод Пауэлла 10
1.2.2 Метод сопряженных градиентов 13
1.2.3 Метод Ньютона 17
1.2.4 Метод переменной метрики (метод Девидона) 19
2 Компьютерные технологии при решении задач оптимизации 24
2.1 Основные сведения о системе Mathcad 24
2.2 Операторы Mathcad, используемые при решении задач оптимизации 27
2.3 Примеры решения задач нелинейного программирования
в системе Мathcad 30
3 Решение практической задачи оптимизации параметров строительных конструкций 34
3.1 Оптимальное проектирование сборного железобетонного перекрытия 34
3.2 Постановка задачи 35
3.3 Оптимизация сборного железобетонного перекрытия
с использованием системы Mathcad 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 44
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. из важных направлений в области повышение инвестиций и рентабельности бизнеса. надежности сооружений, конструкций и материалов, качества работ, как и экономии и трудозатрат, были и актуальными.
Решение поставленных проблем осуществляется уменьшением расходов на и сооружения, снижением трудоемкости и сооружений.
Еще одним из повышения строительства и ввода в строй объектов разработка оптимального зданий и сооружений применения. Так, в важнейших теории оптимизации обоснование принципов и точности задач типовых и конструктивных решений.
С технической зрения такого вида в себя оценку природно-климатических факторов, учет распределения напряжений, характера действия нагрузок, соотношения с формами элементов, и и т.д. С точки задачи включают в себя рентабельности, потоков и так далее, которые в регулируют меру и соотношение ресурсов, для конструктивных (стоимости материалов, услуг, затраты, последствия отказов конструкций, на реконструкцию).
В настоящее с развитием и технологий и подходов в вопросы оптимальных стоят особенно остро, и такие оценки строительных конструкций, позволят и с затратами и средств рациональность технического решения.
Цель работы в изучении математических методов, для оптимизации строительных конструкций;
Объектом исследования методы оптимизации.
Предметом исследования применение математических методов для строительных конструкций.
Задачи настоящего исследования:
1) обзор научной по применения методов оптимизации;
2) компьютерные технологии при задач оптимизации;
3) реализовать рассмотренные оптимизации реализации к строительным и провести анализ.
1 понятия нелинейного программирования
1.1 Постановка нелинейного программирования
В самом смысле задача программирования в отыскании целевой при ограничениях в виде равенств и неравенств. общепринята более постановка задачи нелинейного программирования, в исключаются из следующие специальные случаи:
Переменные лишь целочисленные значения (нелинейное программирование)
Ограничения как время, при этом используются дифференциальные уравнения (оптимальное управление, оптимизация).
Пусть непрерывная f(x) собой целевую функцию, h1(x),…,hm(x) ограничения в виде равенств, а -ограничения в виде , где x=-вектор-столбец в n-мерном пространстве.
Формально задача программирования быть следующим образом:
минимизировать f(x), x , (1.1)
при m линейных или ограничениях в виде
, j=1,…, m, (1.2)
и (p-m) и ограничениях в виде неравенств
j=m+ ,…, p. (1.3)
Вектор удовлетворяющий соотношениям (1.2)-(1.3), оптимальной точкой, а соответствующее значение f()-оптимальное целевой функции.
Для нелинейного программирования при ограничений условия того, что -точка минимума (1.1), являются:
функция f(x) в ;
, т.е. стационарная в
Достаточным условием того, что -точка минимума (1.1), кроме выше 1 и 2, следующее:
3.т.е. Гессе положительно определенная.
Рассмотри задачу программирования с в виде и неравенств.
Необходимым условием того, что является локального , могут быть в двух теоремах, из (теорема 1) можно назвать первого порядка, а (теорема 2)-условиями второго порядка.
Теорема 1.
Если функции f(x), h1(x),…, (x), (x),…, дифференцируемы в и если в ограничения ограничениями первого порядка, то условие в локального задач (1.1) - (1.3) состоит в том, что множители и , что векторов , удовлетворяют
, j=1,..,m,
, j=m+1,…,p,
j=m+1,…,p, (1.4)
j=m+1,…,p,
,
Теорема 2.
Если f(x), h1(x),…, (x), (x),… дважды дифференцируемы в и если в выполняются условия ограничений и порядка, то условиями наличия в локального задач (1.1)-(1.3) является существование и для которых
, j=1,..,m,
, j=m+1,…,p,
j=m+1,…,p, (1.5)
j=m+1,…,p,
,
И для ненулевого вектора v , что для всех ограничений в виде неравенств и для всех в виде равенств, соотношение
,v. (1.6)
Достаточное условие того, что имеет изолированный минимум задач (1.1)-(1.3),такие же, как и условия (1.5) 2, если вместо (1.6) место условие
,v (1.7)
Другое достаточное дается 3
Теорема 3.
Если функции f(x), h1(x),…, (x), (x),… дважды дифференцируемы по x, выполняются условия (1.5) 2 и матрицы Якоби для , и , по (x,u,w) не в нуль в (,, то в имеет локальный минимум.
1.2 Методы программирования
1.2.1 Пауэлла
В Пауэлла определяется нахождения некоторой функции f() при H>0 проведения последовательных поисков , с , системы сопряженных направлений.
Идея Пауэлла в заключается в том, что если на этапе определяется минимум функции f() каждого из p(p+<
Очевидно, второе равно нулю, как произведение двух ортогональных векторов. образом,
= -<),).
1-й член. Выразим ) в с (1.9), получим
<),)>=< ),-+>=
= -<),>+<),>.
Разрешим (1.12) ) и в выражение. получим:
<),)>=<+>=
= <
Легко заметить, что сумму двух произведений ортогональных векторов. образом,
<),)>=0.
Это означает, что ),) ортогональны. можно показать, что все ),),…,) взаимно ортогональны.
Итак, в окончательном виде имеем:
=.
Последнюю формулу применять для функций, так как в нее не матрица Q .
Метод сопряженных является из эффективных минимизации достаточно функций. При условиях обладает квадратичной сходимости:
, c>0.
1.2.3 Ньютона
В методах первого для направления функции лишь линейная разложения в ряд Тейлора. Если функция дважды дифференцируема, а и производные вычисляются достаточно просто, то применение минимизации порядка, которые используют часть этой в ряд Тейлора. Поскольку квадратичная разложения функцию точнее, чем линейная, то ожидать, что второго сходятся быстрее, чем первого порядка.
Метод Ньютона прямым метода корня , где – скалярной переменной. в ряд до первого позволяет уравнение в виде:
0=
Тогда при определенных можно приближение к корня следующим образом:
Нас интересует n-мерная задача оптимизации, фактически к корня . Разложение в ряд в этом случае дает:
()()+Q(
где Q-матрица Гессе.
Отсюда
()
при условии, что обратная . Эта и метод Ньютона функции.
Если функция квадратичная
=a+Q,
где Q – определенная матрица, то, из начальной x0 , с полученной выше формулы можно следующую точку:
.
Эта является минимума функции.
Таким образом, для функции Ньютона определяет точку за один шаг.
Сходимость Ньютона
На сходимость Ньютона влияние матрица Гессе. из причин метода то, что Гессе не положительно определенной. В этом функция увеличиваться в (), а не уменьшаться. того, Гессе на всего должна быть невырожденной, так как существование матрицы.
Если удовлетворяет этим и, того, является ограниченной и условию Липшица, то некоторая окрестность минимума , такая, что для начальной точки из этой метод сходится с квадратичной скоростью:
, c>0.
Таким образом, для метода точка должна выбираться близко к точке .
Недостатки:
необходимость вычислять и матрицу производных. В ряде трудоемкость итерации Ньютона за счет оказаться большой;
сходимость метода от начальной x0 . В с этим возникает проблема начальной точки, должна в малой окрестности минимума.
Достоинства:
вблизи точки метод более сходимость, чем градиентные методы;
общий вычислений оказаться меньше, хотя каждой в Ньютона больше, чем в 1-го порядка.
1.2.4 Метод метрики (метод Девидона)
Как было выше, метода связано с вычисления Гессе функции и последующего обращения этой матрицы. Во случаях матрицы может быть связано с трудностями (например, она быть только численными методами). того, известно, что умножений при матрицы размера [n ? n], приблизительно, n3, что собой величину уже при небольших значениях n.
Рассмотрим метод, обойти выше трудности. В тех случаях, есть вычисления градиентов, переменной метрики наиболее (т.е. он к методов первого порядка, но высокую сходимости Ньютона и, по этой причине, к методам).
Основная формула имеет вид:
= (1.18)
где - матрица, обратную Гессе, а -шаг, который путем функции в
Кстати, (1.18) общей для методов и Ньютона. В наискорейшего роль играет матрица, а в Ньютона – обратная Гессе.
В методе вычисляется по формуле:
+Аk-Bk (1.19)
где
, ,
,
В начального для рекуррентного (1.19) принимается = E , где E – матрица. образом, начальное поиска совпадает с поиска в методе спуска, при этом в ходе алгоритма осуществляется постепенный к направлению. этого может быть дано лишь для функции
=a+Q
с определенной матрицей Гессе Q. Оказывается, что роль Ak в том, обеспечить сходимость к матрице Q?1 , а роль Bk в том, обеспечить положительную матрицы и, в пределе, влияние произвольного задания .
Действительно,
,
,
.
В квадратичной функции, матриц Ai ( i =),при k = n?1, обратной Q?1 , а матриц Bi равна E . Это доказать, если в показать с математической индукции, что методом векторы образуют Q - векторов.
Данный можно как один из вариантов метода
сопряженных направлений. Он задачу квадратичной за конечное число шагов, не n.
Покажем, что .
Из (1.11), учитывая, что =Q+, получим:
=Q()=Q.
Принимая во последнее выражение, записать:
Рассмотрим
( (1.20)
Так как )-взаимно сопряженные, то все в (1.20), j-го слагаемого, нулю.
Таким образом, получаем:
(
Очевидно, возможно только, если .
Также доказать, что
Метод метрики, так же как и сопряженных направлений, требует, нахождение функции на направлении осуществлялось точно. В случае поиска не Q -сопряженными.
Если метод метрики с сопряженных градиентов, то оказывается, что обеспечивает более быструю сходимость, чем второй, но в мере влиянию вычислений. Поэтому используют переменной со модификацией: через конечное шагов (обычно n ) обновление , т.е. = E и начинается, как бы, сначала. На рисунке 1.3 приведена блок-схема метода переменной с обновлением .
Рисунок 1.3- Блок-схема переменной
2 Компьютерные при задач оптимизации
Основные о системе Mathcad
Компьютерная технология — это операций, к задачи с помощью компьютера.
Она определяется:
алгоритмом задачи;
набором и системы компьютерной алгебры;
человеческим фактором (знаниями пользователя)
Основными компьютерных технологий математических являются:
высокая производительность;
возможность задач больших размерностей;
высокая достоверность результатов;
возможность результатов в любом необходимом виде.
Mathcad - это система компьютерной математики, для решения математических задач в различных науки, и образования. системы происходит от двух слов – MATHematica (математика)и CAD(Computer Aided Design-системы автоматическогo проектирования, или САПР).
Перечислим основные, очевидные Mathcad, позволили ей завоевать огромную популярность.
Высокая универсальность. Обычно математические рассчитаны на довольно круга задач. Так, конкурент Mathcad — MATLAB — для проведения численных расчетов, и всего для создания пользователем собственных алгоритмов. Maple, по популярности математическая программа, была для всевозможных аналитических преобразований.
Вторым достоинством системы Mathcad полное используемых в ней и операторов традициям в математике.
К преимуществам программы Mathcad то, что она быть успешно и профессором математики, и школьником. В Mathcad как производить такие с зрения исполнения операции, как символьное интегрирование или значения функции, так и свои вычислительные алгоритмы и модели с специального, простого и изящного программирования
Широкие открывает высокая степень Mathcad с Windows-приложениями. большое практическое имеет сохранения в виде HTML-файлов (что вам свои в Интернете) и в качестве Word-документов. облегчить данных отличная совместимость Mathcad и Excel.
Самой оценки тот факт, что все в Mathcad в реального и не требуют от никаких команд.
Замечательны визуализации в Mathcad. поражают оформления объектов и создание собственных анимаций.
Очень процессу работе в Mathcad ее Ресурсы.
Помимо своих прямых математических функций, Mathcad очень текстовым и графическим редактором, по параметрам не специализированным программам.
Если пользователь в Mathcad сам программу, то она отображается (открыта для чтения) на том же листе. отличие пользователя от текста рабочего документа следующие признаки:
структурирование кода программы;
специфика слов.
Mathcad как полноценного программирования со входным языком, к принятому математическому, с и интеллектуальной символьных и преобразований формировать более комплексы программ.
Системообразующими входного языка являются и функции. обозначается или последовательностью символов и инициирует в Mathcad математическое или операцию. Функция, в от операторов, собственное имя, за открываются скобки, а в приводится аргументов. возвращает вычисленное значение, указанному аргументов.
Из логических панели Boolean (Булевы функции) внимание оператору (=) логического равенства. Его часто "жирный" знак и используют в систем в решения:
с операции Solve (Решить);
в Given . . . Find .
Арифметические вызывают арифметические операции, соответствующими палитры Calculator или с помощью клавиатуры.
Вычислительные, панели Calculus представляют, как правило, операторные конструкции. На панели расположены вычисления сумм, произведений, и интегралов, трех.
Символьные операторы для целого ряда преобразований, таких как выражений, на множители, переменных и многих других. они на Symbolic (Символьные), и по их гораздо больше, чем любых типов.
Одна из возможностей Mathcad — реализуется благодаря специальных операторов, на Programming (Программирование).
2.2 Mathcad, при задач оптимизации
Для численного задач максимума и в Mathcad имеются встроенные Minerr, Minimize и Maximize.
Принцип их очень к расчетов, во функции Find, для решения алгебраических уравнений. В частности, все функции минимизации используют те же численные методы, что и Find.Кроме того, как и в случаи решения уравнений, градиентного алгоритма, во-первых, задания начального к точке минимума и, во-вторых, отыскать лишь один (т.е. ) из функций.
Таким образом, найти максимум(или минимум),требуется сначала просканировать с шагом область и все локальные и выбрать из них (наименьший).
Другим вариантом простое с значений функций, выделить из нее подобласть наибольших(наименьших)значений и поиск глобального экстремума, уже в его окрестности.
Для экстремумов две встроенные функции, могут как в вычислительного блока, так и автономно:
Minimize(f,x1,…,xM)-вектор аргументов, при которых f минимума;
Maximize(f,x1,…,xM)-вектор аргументов, при которых f максимума;
f(x1,…,xM,…)-функция;
x1,…,xM,…-аргументы, по производится минимизация(максимизация).
В на экстремум встроенные минимизации и должны быть в вычислительный блок, т.е. им предшествовать слово Given. В между Given и поиска с помощью операторов логические (неравенства, уравнения), ограничения на аргументов функции.
Несмотря на то, что, в Mathcad символьное задачи не предусмотрено, все-таки имеет аналитического экстремумов функции, на базовые математического анализа. лишь о том, что (при соответствующих на и функции) точки f(x) тем, что в них этой проходит через нулевое значение. Тип (максимум или минимум) знаком второй в этой точке.
Таким образом, имея в виду данные правила, не особого организовать решение задачи на экстремум, моментом будет решение алгебраического
. Сразу стоит подчеркнуть, что использовать символьных и аналитических расчетов, например, считается аналитически, а численно. В этом может вся мощь Mathcad, пользователю арсенал как аналитических, так и методов.
Рассмотрим решение алгебраических уравнений. Градиентные численные решения отделения уравнений и экстремума функций близка. Поэтому, в частности, может тем же самым образом, с контекстного меню, конкретный приближенного решения для Minimize и Maximize.
Основным в задачи минимизации критерий решения( итерации): если при уравнений служит нулю системы уравнений, то при критерий в итерации к минимальным значением функции.
Иногда заменять проблему решения уравнений поиска функций многих переменных. Например, невозможно решение с функции Find, попытаться вместо точного уравнений минимизировать их невязку. не нужно было данную вручную (вместо функций Find соответствующую постановку задачи для Minimize),разработчики Mathcad предусмотрели встроенную Minerr. Она аналогично Find, в частности, тот же набор параметров и находиться в вычислительного блока:
–начальные для неизвестных.
Given – слово.
Система алгебраических и неравенств, логическими операторами.
Minerr ( – решение относительно переменных , минимизирующее системы уравнений.
переменных , минимизирующее невязку системы уравнений.
2.3 Примеры решения задач нелинейного программирования в системе Мathcad
Минимизация функции одной переменной
1 способ:
Рисунок 2.1- График функции одной переменной.
2 способ:
Given
z:=Find(t)=4.145
f(z)=-52.629
Нахождение минимума (максимума) функции в системе Mathcad
1 способ:
Рисунок 2.2 - 3D-график функции двух переменных.
2 способ:
Given
0
Find (r,t)=
Для исследования функции на максимум или минимум мы находим производные второго порядка и по ним составляем определитель. Если , то экстремумы функции существуют. Если0 и , то существующий экстремум-это минимум, что и требовалось доказать.
Поиск минимума функции Розенброка с помощью Minerr
Given
Minerr(x,y)
Проверка решения
x=1 y=1 f(x,y)=0
Построение графика функции
i:=0…100 j:=0…100
)
Рисунок 2.3-График функции Розенброка
Разработчиков системы Mathcad надо отметить, что описанный алгоритм блестяще справляется с непростой задачей поиска минимума функции Poзенброка градиентным методом минимум функции найден в точке (1,1) с мaксимально верным (в пределах точности отображения результатов вычислений) значением - 0.
3 Решение практической задачи оптимизации параметров строительных конструкций
3.1 Оптимальное проектирование сборного железобетонного перекрытия
Об оптимальных параметрах выпускаемого изделия (объекта) необходимо думать еще при его проектировании, потому что потом повлиять на расходы, связанные с его изготовлением и последующей эксплуатацией, уже не удастся. Это заставляет задуматься над тем, что представляет собой проектирование и какое место в нем отводится принятию оптимальных решений. Проектировщику требуется большой опыт и гибкость мышления, чтобы найти приемлемое решение среди множества различных вариантов. Под вариантом проекта понимается любое проектное решение, в той или иной степени удовлетворяющее требованиям:
эффективности, т. е. как можно более полное соответствие цели, для которой объект создается;
надежности, т.е. безотказности при эксплуатации;
долговечности, т. е. способности к выполнению своих функций в течение предусмотренного проектом времени;
технологичности, т. е. удобству изготовления элементов объекта, их транспортировки, монтажа;
Непременным атрибутом идеальной схемы поиска оптимального проекта является некий совокупный технико-экономический показатель качества проекта, который создается специально созданной командой высококвалифицированных специалистов-экспертов. Показатель качества проекта обычно имеет денежное выражение и записывается в виде:
(3.1)
где - технико-экономический показатель отдельного звена проекта (масса определенных элементов конструкции, трудоемкость определенного вида работ и т.п.);- весовой коэффициент, учитывающий значимость рассматриваемого звена проекта; - параметры управления, т. е переменные, изменяя которые можно влиять на показатель качества; - постоянные неуправляемые параметры. Параметры и обычно связаны между собой ограничениями, которые вытекают из требований, предъявляемых к проектируемому объекту. Они могут иметь форму неравенств или равенств.
Задача экспертов состоит в том, чтобы, исследуя каждое звено проекта, выяснить, от каких параметров оно зависит, как связано с другими звеньями, какой удельный вес имеет. Необходимо установить все ограничения, которые в рамках данного звена накладываются на параметры и . Это самая сложная и важная часть процесса проектирования, так как после построения функции (3.1) и ограничений остается чисто техническая операция – выбрать метод математического программирования реализации созданной модели.
Описанная схема поиска оптимального проекта нереализуема, так как никакие эксперты не смогут совершенно объективно назначить весовые коэффициенты показателя качества. Но ничто не мешает проводить в процессе проектирования частичную оптимизацию, чтобы получить оптимальные решения для отдельных звеньев проекта.
3.2 Постановка задачи
Сборное железобетонное перекрытие из балок и плит загружено равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рисунок 3.1). Балки расположены вдоль короткого пролета. По ним уложен настил из плит, работающих на изгиб как балки пролетом a . Допустимые напряжения для плит и балок одинаковы и равны [?]. Требуется определить минимальный объем перекрытия, исходя из условий прочности по максимальному изгибающему моменту в середине пролета плит и балок.
Рисунок 3.1-Сборное железобетонное перекрытие:
а - схема перекрытия б – сечение по балке
Таким образом, требуется спроектировать железобетонное перекрытие минимального объема
V=(L1h+BHM)Lmin , (3.2)
где N ? количество балок (две крайние принимаются за одну), остальные обозначения соответствуют рисунку 3.1, при условии, что напряжение в опасных сечениях плит и балок не превышает заданного проектного напряжения :
Mпл/Wпл; Mб; (3.3)
В качестве неизвестных параметров выступают: высота плиты h , высота балки H и количество балок. Параметры эти должны быть положительными h,H,N>0
Считаем, что масса материала, из которого изготовлены балки и плиты, равномерно распределена по контуру их поперечного сечения. Перекрытие спроектировано оптимально в том случае, если в нем содержится такое количество материала, что при полной нагрузке напряжения в опасных сечениях балок и плит равны проектному напряжению .При соотношении между шириной и высотой поперечного сечения балок B=?H, ? < 1 объем перекрытия
V=(L1h+?H2N)Lmin , (3.4)
Определим минимальные значения моментов сопротивления сечений плит и балок
Wпл.min=Mпл.max/ ; Wб.min=Mб.max/ ; (3.5)
В то же время моменты сопротивления сечений определяются по формулам
Wпл=Lh2/6; Wб=?H3/6. (3.6)
Максимальные значения изгибающих моментов
Mпл.max=qпл?2/8=qL/(8N2); ?=L1/N; qпл=qL. (3.7)
Mб.max=qбL2/8=qL1L2/(8N); qб=qL1/N. (3.8)
Подставляя в формулы (3.5) выражения (3.6)-(3.8), имеем:
Lh2/6=qL/(8N2); ?H3/6=qL1L2/(8N2). (3.9)
Из равенств (3.8) получаем формулы для определения высот h и H :
h=; H=. (3.10)
Анализируя формулы, отмечаем, что высоты поперечного сечения плит и балок зависят от количества балок. В таком случае, алгоритм поиска оптимального решения можно построить следующим образом:
ввести исходную информацию;
в цикле изменять значение количества балок в некотором реальном диапазоне, по формулам (3.10) получать значения h , H и определять объем перекрытия по формуле (3.11);
из полученного множества допустимых решений выбрать ту совокупность параметров h, H, N , которая обеспечивает минимальный объем перекрытия.
3.3 Оптимизация сборного железобетонного перекрытия с использованием системы Mathcad
Обозначим ; ; и запишем математическую модель прямой задачи.
целевая функция
ограничения
граничные условия
где
Исходные данные:
L1=20 м; L=10 м; q=0,005 Мпа; =100 Мпа; ?=0,3; h=0,0387; H=0,63;N=10.
f (x1,x2,x3)=19.647
f (x1, x2, x3)=18.763
Так как переменная x3-это N-количество балок и является целым числом, то построим алгоритм оптимизации для значений x3=16 и x3=17.
Перейдем к задаче для целевой функции двух переменных, т.е. зафиксируем переменную x3=16
f (x1, x2, x3)=26.791
f (x1, x2 )=18.766
Рисунок 3.1 – Контурный график поверхности f(x1,x2) и поверхность f(x1,x2)
С изменением переменной x3=16 получили x1=0,024; x2=0,539 и значение целевой функции f(x1,x2)=18,766.
Зафиксируем переменную x3=17
f (x1, x2)=27.982
Рисунок 3.3 – Контурный график поверхности f(x1,x2) и поверхность f(x1,x2)
С изменением переменной x3=17 получили x1=0,023 ; x2=0,528 и значение целевой функции f (x1,x2)=18,765.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обобщение работ в области оценки оптимальности параметров строительных конструкций показывают, что они ориентированы на поиск рациональных и эффективных методов получения оптимальных количественных характеристик конструктивных решений.
В виду больших объемов затрат на строительство и эксплуатацию объектов результаты оптимизации имеют большое народнохозяйственное значение.
В работе получены следующие результаты
1. Проведена постановка задачи нелинейного программирования и рассмотрены следующие методы: метод Пауэлла, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона, метод переменной метрики (метод Девидона).
2. Рассмотрены компьютерные технологии при решении задач оптимизации. Для дальнейшей реализации выбран математический пакет Mathcad в силу его универсальности и простоты использования. В частности Mathcad как система полноценного визуального программирования со своим входным языком, близким к принятому математическому, с интерпретатором и интеллектуальной системой символьных и численных преобразований позволяет формировать более гибкие комплексы программ, нежели при использовании традиционных языков программирования.
3. С помощью компьютерных программ построена математическая модель задачи оптимизации строительных конструкций на примере сборного железобетонного перекрытия.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Аоки М. Ведение в методы оптимизации. - М.: Наука, 1977. - 300 с.
Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: учеб. для студ. вузов. - М.: Наука, 2001. - 270 с.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 1988. - 90с.
Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. - М.: Наука, 1986. -300c.
Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк А.В. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. М.: Наука, - 1989. - 262 с.
Дьяконов В. Mathcad 2001: Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002. - 832 с.
Загребаев А.М., Крицына Н.А.,.Кулябичев Ю.П. Методы математического программирования в задачах оптимизации сложных технических систем. - М.: МИФИ, 2007. - 332 с.
Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Советское радио, 1973.- 312 с.
Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. - М.: ИЛ, 1963. - 176 с.
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975.- 606 с.
Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1980. - 256 с.
Кирьянов Д. Самоучитель по программе Mathcad . - М.: Наука, 2010. - 140 с.
Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: МАИ, 1988. - 344 с.
Лисицын В. Основы методов оптимизации. - М.: МАИ, 2003.- 33 с.
Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций./ Пер. с англ.-М.: Высшая школа, 1979. -237с.
Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad Учебный курс. - СПб.: Питер, 2005. - 448 с.
Максимов Ю.Я., Филипповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. - М.: МИФИ, 1982. - 52 с.
Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1979. - 288 с.
Мину М. Математическое программирование. - М.: Наука, 1990. - 267 с.
Новикова Н.М. Основы оптимизации (курс лекций). - М.: МГУ, 1998.-
65 с.
Партыка Т. Л., Попов И. И. Математические методы. - Учебник. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2013. - 364 с.
Половко А. М., Ганичев И. В. Mathcad для студента. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 336 с.
Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.-384 с.
Потапов Ю.Б., Селяев В.П., Люпаев Б.М. Композиционные строительные конструкции М.: Стройиздат,1984. - 100с.
Салмин И.Д. Математические методы решения оптимизационных задач:учебное пособие. - М.: МИФИ, 2004.-156 c.
Струченков В.И. Математическое программирование: Методы, задачи, обучающие компьютерные программы: учебное пособие. - М.: МИФИ, 2004.-120 c.
Сухарев A.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 368 с.
Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование./Пер. с англ.-М.: Мир,1975. - 536 с.
Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности пр....................... |
