Класс однолистных функций с ограниченным вращением

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Б.Б. ГОРОДОВИКОВА»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
  КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА


«Допустить к защите»
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н., доцент
Копейко Вячеслав Иванович
_____________________________
(подпись)
«_____»________________2018 г.

     
     
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(бакалаврская работа)
     
Класс однолистных функций с ограниченным вращением


Выполнил:
Обучающаяся 4 курса очной формы обучения, направления 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»
Мацакова Яна Александровна ______________________________
(подпись обучающегося)

Научный руководитель: доцент к.п.н.,
Задорожная Ольга Владимировна _____________________________
(подпись руководителя)






г. Элиста
2018

Содержание
Введение…………………………………………………………….…………... 4
Глава 1 Основные понятия, определения и утверждения, используемые в выпускной работе, некоторые обзорные сведения……………………………………………........……………………….5
	1.1. Некоторые обзорные сведения.……………………………………………………….…………. 5
	1.2. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация. ……………………………………....…………………………. 7
	1.3. Производная. Дифференцируемость. Регулярность. Однолистность. Необходимое условие однолистности. ……………………...…………. 8
	1.4. Интеграл Стилтьеса ………………………………………………….11
Глава 2. Общие специальные классы регулярных функций……………………………………………………………….…………12
	2.1. классы функций C,P……………………………………...….……… 12
     2.2. Простейшие вариационные формулы Голузина в классе P…….....12
	2.3. свойства функций p(z) класса P……………………………….…....13
Глава 3. Общий специальный класс функций с ограниченным вращением……………………………………………………………….…..…..14
	3.1. Достаточное условие однолистности регулярной в единичном круге функций …………………..…………………………………....…….……...........14
	3.2. Класс функций ОГ ……………………………….……..…………….15
	3.3. Свойства функций класса ОГ…………………………………….......15
     3.4. Ограниченность вращения. Класс функций с ограниченным вращением………………………………………………………………………...16
     3.5. Теорема коэффициентов для функций класса ОГ…………………..17
Глава 4. Специальные классы функций ………………………….……........18
	4.1. Класс функций P_1……………………………………………….…......18
	4.2. Вариационные формулы в классе P_1……………………………........19
	4.3. Свойства функций p_1 (z) класса P_1………………………….…..……20 
Глава 5. Специальный класс функций с ограниченным вращением.........20
	5.1. Класс функций O?_1…………………………………….…………........20
	5.2. Свойства функций класса O?_1…………………………………………21
	5.3. Ограниченность вращения. Класс функций с ограниченным вращением……………………………………………………………………….....21
     5.4. Теорема коэффициентов для функций класса O?_1…………………...22
Заключение………………………………………………………………………..25
Литература…………………………………………………………………….......26























Введение. 
     Выпускная квалификационная работа посвящена введению и изучению класса однолистных функций с ограниченным вращением. 
     Вопросами однолистных, конформных отображений занимается геометрическая теория функций комплексного переменного, в которой вводятся классы функций с определенными геометрическими и аналитическими свойствами. Наибольшее внимание уделяется общим классам регулярных и однолистных в единичном круге функций, а также регулярным и однолистным во внешности единичного круга функций. 
     Имеют место подклассы общих классов функций: класс функций, отображающих единичный круг на области, расположенные в правой полуплоскости; классы звездообразных, выпуклых, почти выпуклых, спиралеобразных функций и другие классы. 
     Свойства функций выражаются в виде равенств, неравенств на отдельные характеристики (модуль, аргумент функции и ее производных) в фиксированной точке.
     Для исследования свойств классов используются различные методы, в частности, метод вариационных формул. 
     Выпускная квалификационная работа посвящена введению новых классов функций и исследованию их свойств, в частности, вводятся различные варианты классов функций с ограниченным вращением.













Глава 1 Основные понятия, определения и утверждения, используемые в выпускной работе, некоторые обзорные сведения.
1.1. Некоторые обзорные сведения.
	В данной главе напоминаются некоторые понятия и утверждения, имеющие место в вещественном и комплексном анализе функций одной переменной, в общем курсе теории дифференциальных уравнений, в геометрической теории функций комплексного переменного, в теории конформных отображений и однолистных функций.
	Функция называется дифференцируемой в данной точке, если она имеет в данной точке конечную производную. Заметим, что определение дифференцируемости функции в точке можно дать в терминах приращений.
	Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке данной области, то есть если она имеет конечную производную в каждой точке этой области.
	Функция называется регулярной в данной точке, если она имеет конечную производную в самой точке и некоторой ее окрестности.
	Функция называется регулярной в области, если она имеет конечную производную в каждой точке данной области. 
	Заметим, что вышеописанное можно изложить в терминах представления функции в виде ряда Тейлора, сходящегося в некоторой окрестности рассматриваемой точки. 
	Однозначная функция называется однолистной в области E, если для любых z_1, z_2?E таких, что z_1?z_2, выполняется условие f(z_1 )-f(z_2)?0.
	Однолистные функции осуществляют взаимно однозначное отображение области E на ее образ f(E).
	Если f'(z_0 )?0, z_0?E, то функция f(z) локально однолистна, то есть однолистна в некоторой окрестности точки z_0?E.
     Однако однолистность функции в области не следует из регулярности и не обращения в нуль производной в некоторой области. 
	Выявлениями достаточных условий однолистности функций, в частности, занимается геометрическая теория функций комплексного переменного.
	Отображение называется конформным отображением в данной точке, если оно обладает: 
	1) свойством сохранения углов (сохраняет углы между кривым, проходящие через данную точку);
	2) круговым свойством (бесконечно малые окружности преобразуют в окружности с точностью до малых высших порядков).
	Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности U(z_0) точки z_0 и f'(z_0)?0,. Тогда отображение функции  w=f(z) называется конформным в точке z_0. 
	Конформными отображениями занимается теория конформных отображений, теория однолистных функций, теория функций комплексного переменного, геометрическая теория функций комплексного переменного.
	По определенным геометрическим, аналитическим свойствам выделяются специальные подклассы класса всех регулярных, однолистных и нормированных в единичном круге функций: классы звездообразных, выпуклых функций, с ограниченным вращением, классы почти выпуклых функций, функций с вещественными коэффициентами и другие классы. Все эти классы изучаются в геометрической теории функций комплексного переменного.
	Требование однолистности функций накладывает некоторые ограничения на модуль, коэффициенты и другие характеристики функций, выражаемые в виде функционалов, рассматриваемых на классе однолистных функций и его подклассах. Проблемным моментом при исследовании однолистных функций, функционалов на классах однолистных функций является отсутствие на множестве однолистных функций структуры линейного пространства. Это обстоятельство потребовало создание оригинальных методов, приемов исследования, их объединение. Зарождение геометрической теории функций комплексного переменного восходит к Риману, доказавшего теорему о возможности при определенных условиях конформного отображения односвязной области на односвязную область. 
	Начальные задачи и методы их решения в геометрической теории функций комплексного переменного появились во втором десятилетии двадцатого века. Дальнейшее развитие получили в работах Левнера, Куфарева и других ученых.
	Следует отметить весомый вклад в развитие геометрической теории функций комплексного переменного участников научных семинаров в научных центрах Томска, Донецка, Казани, Санкт – Петербурга, Краснодара и многих других. 



1.2. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация.
Определение модуля:
     |a|={?(a,  a?0,@-a,  a<0.)?				(1)
Свойства модуля:
     |a|?0.					(2)
     |a|=|-a|.					(3)
  {?(|a|?a,@|a|?-a.)?					(4)
  |a|=a?a?0.				(5)
  |a|=-a?a?0.				(6)
     |a|+|b|=a+b?{?(a?0,@b?0.)?			(7)
Геометрическая интерпретация модуля: |a| есть расстояние на числовой оси от точки a до нуля, а модуль разности |a-b| — расстояние между точками a и b.
     Так, например, сумма расстояний от точки x до точек a и b, a0, точки z_0 на окрестности f(U(z_0,?)) точки w_0=f(z_0). Сопряженная к f(z) функция (f(z), ) ? осуществляет конформное отображение второго рода окрестности U(z_0,?) на окрестность точки (w_0 ) ?. 
	Заметим, что из локальной однолистности функции f в окрестности точек z_0?D_z, не следует однолистность функции f в области D_z, но следует достаточное условие конформности функции f при условии f'(z)?0 при ? z?D_z.
	Таким образом, условие f'(z)?0 в D_z, является достаточным условием к конформности регулярного отображения w=f(z) в области D_z, но не является необходимым условием однолистности функции f в D_z.
     Достаточное условие однолистности функции f(z) в области D_z. Условие f'(z)?0, необходимое и достаточное для однолистности и конформности отображения f в точке z?C, не является достаточным для однолистности функции в области ее определения. Имеется несколько достаточных условий однолистности, относящихся к определенным семействам функций.
     Геометрический смысл аргумента производной. При отображении посредством непрерывной функции w=f(z), обладающей отличной от нуля производной f'(z_0), все кривые плоскости z, проходящие через точку z_0 и обладающие касательными в этой точке, преобразуются в кривые плоскости w, проходящие через точку w_0=f(z_0) и также обладающие касательными в этой точке, причем углы между кривыми при этом преобразовании сохраняются. Отображение посредством непрерывной функции, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точке.
     Геометрический смысл модуля производной. Для того чтобы выяснить геометрический смысл модуля производной |f'(z)|, заметим, что 
     |f'(z_0)|=lim?(z?z_0 )??|f(z)-f(z_0)|/|z-z_0 | ?
и что числа |z-z_0 | и |f(z)-f(z_0)| представляют собой соответственно расстояния между точками z и z_0 плоскости z и между их образами f(z) и f(z_0) в плоскости w. Если отношение |f(z)-f(z_0)|/|z-z_0 |  можно рассматривать как растяжение вектора z-z_0 в результате отображения посредством функции w=f(z) (это растяжение может быть меньше единицы, равно единице и больше единицы), то модуль производной |f'(z_0)| можно рассматривать как растяжение в точке z_0 при отображении посредством функции w=f(z). Величина растяжения в точке z_0, не зависит от того, какой берется вектор z-z_0, выходящий из этой точки; однако она не совпадает с растяжением вектора z-z_0, а представляет  собой предел этого растяжения при условии, что z стремится к z_0.
1.4. Интеграл Стилтьеса.
	Интеграл Стилтьеса – обобщение понятия интеграла Римана, реализующее идею интегрирования функции f(z) относительно другой функции u(z). 
Стилтьес пришел к идее такого интеграла, рассматривая положительное «распределение масс»  на прямой, заданное возрастающей функцией u(z), точки разрыва которой соответствуют массам, «сконцентрированным в одной токе».
	Интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции u(z) взята функция z+C, где C-const. 
	Для существования интеграла Стилтьеса достаточно выполнение одного из условий:
1) функция f(z) непрерывна на [a,b], а функция u(z) имеет ограниченную вариацию на [a,b];
2) функция f(z) интегрируема на [a,b] в смысле Римана, а функция u(z) удовлетворяет на [a,b] условию Липшица, т.е. u(z_1 )-u(z_2)?C|z_1-z_2 |, где C-const, для любых z_1 и z_2 из [a,b];
3) функция f(z) интегрируема на [a,b] в смысле Римана, а функция u(z) представима на  [a,b] в виде интеграла с переменным верхним пределом 
u(z)=C+?_a^z??g(t)dz?,
Где g(t) – абсолютно интегрируема на a?t?b.


Глава 2. Общие специальные классы регулярных функций.
2.1. Классы функций C,P. 
	Обозначим через 
M[-?;?] множество функций ?(?) неубывающих на отрезке [-?;?] и удовлетворяющих условию 
     ?_(-?)^???(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z) d?(?)?=1;			(11)
     C – множество функций p(z) представимых в E в виде 
			p(z)=a?_(-?)^???(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z) d?(?)?, a>0, |b|0 при z?D_z, то функция f однолистна в области D_z.
	Доказательство. Возьмем две любые различные точки z_1?D_z, z_2?D_z. Тогда 
     f(z_2 )-f(z_1 )=?_(z_1)^(z_2)??f^' (?)???			(24)
Полагая ?=z_1 (1-t)+z_2 t, 0?t?1, и используя выпуклость D_z, получаем 

     (f(z_1 )-f(z_2 ))/(z_1-z_2 )=?_0^1??f^' (z_1 (1-t)+z_2 (t))?t?		(25)
     Так как вещественная часть интеграла положительна, то он отличен от нуля и, значит, f(z_1 )?f(z_2 ) при всех  z_1, z_2?D_z, z_1?z_2. Последнее означает, что при выполнении условий теоремы функция f(z) однолистна в D_z.
3.2. Класс функций ОГ.
	Обозначим через ОГ класс функций f(z) представимых в E в виде:
f(z)=?_0^z?(?_(-?)^???(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z) d?(?)?)  dz,			(26)
где ?(?)?M[-?;?], или в виде 
     f(z)=?_0^z??p(z)? dz,				(26')
где p(z)?P.
	В выпускной работе доказывается, что функции f(z) класса ОГ, регулярны и однолистны в единичном круге.
3.3. Свойства функций класса ОГ.
     Введем класс функций ОГ как множество регулярных в E функций f(z), представимых в E интегралом:
     f(z)=?_0^z?(?_(-?)^???(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z) d?(?)?)  dz 			(27)
или в виде
f(z)=?_0^z?p(z)?z					(28)
p(z)?P – представимые интегралом Стилтьеса:
где
     p(z)=?_(-?)^???(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z) d?(?),?				(29)
а ?(?)?M[-?;?] – класс неубывающих на промежутке [-?;?] функций ?(?), удовлетворяющих условию 
?_(-?)^???d?(?)=1?.					(30)
     Докажем, что функции класса ОГ однолистны в E. 
     Теорема 3.2. Пусть p(z) принадлежит классу P. Тогда функция f(z) вида (20), (21) однолистна в круге E.
     Доказательство. Так как f^' (z)=p(z) и так как Re f^' (z)=Re p(z)>0 в E, то с учетом (20), (21), и на основании выше доказанной теоремы заключаем, что функции f(z) класса ОГ, т.е. функции вида (20), (21) однолистны в E. Теорема доказана.
3.4. Ограниченность вращения. Класс функций с ограниченным вращением.
	Теорема 3.3. : Пусть p(z)?P, тогда 
     (1-r)/(1+r)?|p(z)|?(1+r)/(1-r),				(31)
где r=|z|<1.
     Доказательство: Учитывая условия (29) и (30), а также неравенства 
     min?(-?????)??|(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z)|=?  (1-r)/(1+r)				(32)
max?(-?????)?|(1+e^(-i?) z)/(1-e^(-i?) z)|=(1+r)/(1-r)				(33)
будем иметь, с учетом (29), неравенство (31).
     Теорема 3.4. : Пусть функция f(z)?ОГ, тогда теорема искажения выражается в виде оценок 
модуля производной функции:
	(1-r)/(1+r)?|f'(z)|?(1+r)/(1-r), 				(34)
вещественной части производной
     (1-r)/(1+r)?Ref'(z)?(1+r)/(1-r),				(35)	
а также ее мнимой части
     |Im f'(z)|?2|z|/(1-|z|^2 ),				(36)
а теорема вращения выражается в виде оценки для аргумента производной:
     |arg?f'(z) |?arcsin 2|z|/(1+|z|^2 )			(37)
     и
     -?/20 в E, то есть отображают E на область, расположенную в правой полуплоскости.
     Доказательство. Так как подынтегральная функция 
     h_1=1/(1-e^(-i?) z),				(47)
как функция параметра z? E регулярна в E, то функция p_1 (z)  регулярна в E.
	Из неравенства 
     Re [h_1 (z)]>0 в E
следует неравенство
     Re [p_1 (z)]>0 в E.

Последнее означает, что функция p_1 (z) в (46) отображает E на область расположенную в правой полуплоскости.
Теорема доказана.
4.2. Вариационные формулы в классе P_1.
     Среди различных классов аналитических функций рассматриваются такие, в которых функции имеют параметрическое представление, содержащие интеграл Стилтьеса:
     p_1 (z)=?_(-?)^???1/(1-e^(-i?) z) d?(?)?,			(48)
с заданным ?(?)?M[-?;?]. Решение экстремальных задач в таких классах сводится к определению функций ?(?), соответствующих экстремуму.
	Введем две вариационные формулы. Обозначим через E_g класс функций p(z), определяемых интегралом Стилтьеса:
     p_1 (z)=?_(-?)^???g(z,?)d?(?)?,			 (49)
где g(z,?)=1/(1-e^(-i?) z) – заданная регулярная функция соответственно в |z|<1, M[-?;?], а ?(?)? M[-?;?] – класс неубывающих на [-?;?] функций ?(?), удовлетворяющих условию:
?_(-?)^???d?(?)=1?.    
1) Пусть M_1 и M_2, M_10 в E, то с учетом (20), (21), и на основании выше доказанной теоремы заключаем, что функции f_1 (z) класса ?ОГ?_1, т.е. функции вида (20), (21) однолистны в E. Теорема доказана.
5.3. Ограниченность вращения. Класс функций с ограниченным вращением.
	Теорема 5.2. Пусть p(z)?P, тогда 
     (1-r)/(1+r)?|p(z)|?(1+r)/(1-r),				(63)
где r=|z|<1.
     Доказательство: Учитывая условия (29) и (30), а также неравенства 
     min?(-?????)??|1/(1-e^(-i?) z)|=?  1/(1+r)				(64)
max?(-?????)?|1/(1-e^(-i?) z)|=1/(1-r)				(65)
будем иметь, с учетом (29), неравенство (31).
     Теорема 5.3. Пусть функция f_1 (z)??ОГ?_1, тогда теорема искажения выражается в виде оценок 
модуля производной функции:
1/(1+r)?|f_1^' (z)|?1/(1-r),  z?E,				(66)
вещественной части производной
     1/(1+r)?Ref_1'(z)?1/(1-r),				(67)	
а теорема вращения выражается в виде оценки для аргумента производной:
     |f_1 (z)|?ln 1/(1-r),  r<1				(68)
     
     Доказательство: Так как, из (54) следует f^' (z)=p(z), то используя вышеуказанные неравенства для функции p(z) получим неравенства (66) – (68),
     min?z?arg  z/(1-z)