Изучение стохастической линии в школьном курсе математики

                           Содержание
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………
ГЛАВА I. Научно-методические основы изучения стохастической линии школьного курса математики.
1.1.  Генетические основы изучения комбинаторных представлений  и детей дошкольного возраста.
1.2. Основные понятия и методы комбинаторики…………………………………
1.3.Основные понятия и методы статистики…………………………………
1.4 Основные понятия и методы теории вероятности  
ГЛАВА II. Методика изучения стохастической линии в школьном курсе математики.
2.1. История включения стохастического материала в школьном курсе.
2.2. Анализ учебников по действующей программе.
2.3. Роль спецкурсов в развитии современного образования.
2.4. Элективный курс: «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики»
2.5. Структура и содержание элективного курса
2.6.Тематическое планирование
2.7. Анализ результатов апробации курса «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики» в  9 классе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ
                                                                 
                                                                       Введение
В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. Сейчас без достаточно развитых представлений  о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.
     Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.
     Как известно, современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его склонностей и интересов. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик, изменения в требованиях  к математической подготовке учащихся. И поэтому, когда речь идет о формировании личности с помощью математики, насущной задачей является необходимость развития у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления.
 Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также из наблюдений учителей математики, в среднем звене школы заметно падает интерес к математике и связано это с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены  между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности.
     Сегодня мы имеем первый комплект учебников для массовой школы, содержащие разделы по теории вероятностей. В связи с этим многие учителя оказались в нелегком положении. Большинство из них не помнит даже самих «элементов», не говоря уже о какой – то специальной методике их преподавания в школе, направленной на развитие особого типа мышления и формирования недетерминированных представлений.
     Сейчас  встает проблема методической готовности учителей, способных к успешной реализации вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики.
     Необходимо поставить глобальную задачу перед системой образования: включить в дидактику концептуальный принцип вероятностного подхода, который должен определять в целом содержание современного стиля мышления учащихся, а значит и вектор развития современной науки. При этом данный принцип должен иметь определенный инструментарий, который может быть представлен в виде содержательных, нормативных и процессуальных дидактических функций, позволяющих технологизировать процесс формирования и развития современного стиля мышления в процессе обучения учащихся в школе.1
     Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:
     * необходимостью полноценного изучения важнейших элементов теории вероятностей и математической статистики в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала;
     * «новизной» изучаемого материала, который долгое время отсутствовал в курсе математики основной школы;
     * недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала в школьном курсе математики;
     * существованием проблем в вопросах изложения этого материала в различных учебных пособиях.
     В связи с этим  для исследования была выбрана тема «Стохастическая линия в школьном курсе математики».
Цель дипломной работы: на основе изучения специальной литературы и имеющегося материала, разработать элективный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики» для учащихся 8-9 классов.
     Объект исследования: процесс изучения элементов теории вероятностей и математической статистики в курсе математики основной школы.
           Предмет исследования: элементы комбинаторики, статистики  и теории вероятности в школьном курсе математики.
     Основные цели работы – изучить теоретические аспекты, разработать практические рекомендации по методике изучения стохастической линии в курсе математики основной школы, применить некоторые из них при изучении этого раздела школьниками, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанных практических рекомендаций.
     Гипотеза: развитие вероятностного мышления, изучение вероятностно-статистической линии школьниками на основе разработанной методики способствует  полноценному и качественному усвоению этого достаточно сложного материала, развитию правильных представлений о данном разделе математики и умений применять полученные знания в практической жизни.
     Гипотеза, проблема и цели исследования определяют следующие задачи: 
        *  проанализировать, как строится стохастическая линия в школьном курсе математики;
        * изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;
        * на основе применения разработанных методических рекомендаций сделать выводы об их правильности и целесообразности; 
        * на основе опытного преподавания проанализировать, как воспринимается этот материал учащимися: степень заинтересованности при изучении этого материала, уровень доступности, трудности, возникающие при изучении этого материала, качество усвоения;
        *  определить роль специальных курсов о обучении математике ;
       *  разработать программу элективного курса для учащихся  8-9 классов «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики»
         * провести апробацию курса «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики» в 9 классе.
     Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:
            *  изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;
            *  анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.

     Структура работы определена ее предметом и объектом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.
     База исследования: МКОУ  «Березовская СОШ»

               
     Глава 1 Научно – методические основы изучения стохастической линии школьного курса математики.
1.1 Генетическая основа изучения комбинаторных представлений и детей дошкольного возраста.
Введение стохастической линии в школьный курс математики, ставшее велением времени, одновременно породило немало проблем. К ее изучению и преподаванию оказались не готовы все: авторы учебников, учителя, методисты и ученики.
Математики и педагоги столкнулись с парадоксальной ситуацией: в начальной школе изучать комбинаторно- вероятностные понятия оказалось рано, а в старших классах уже поздно (мешает излишняя формализация знаний, присущая математике). 
Выход из этой ситуации ученые, методисты, авторы учебников пытаются найти, используя современные достижения в области психологии, педагогики и дидактики математики (О.С. Медведева, Е.Е. Белокурова, Е.А. Бунимович, В.Д. Селютин, А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев и др.).
Стохастическое мышление детей должно развиваться непрерывно в системе образования: детский сад – начальная школа – средняя школа - ВУЗ.
в детском саду и начальной школе должна быть раскрыта генетическая основа, те реальные объекты, процессы и явления, которые служат источником возникновения и развития комбинаторно- вероятностных, статистических понятий и методов.
Раскроем генетическую основу стохастической линии школьного курса математики, которая связана с понятиями «множество», «величина», их отношениями и операциями над ними. Следует заметить, что эти понятия служат генетической основой и для других линий школьного курса математики (числовой, функциональной, геометрической и т.д.).
Понятие множества осознается детьми тогда, когда они уже умеют расчленять целое на части, совокупность на отдельные элементы, отличать многое от единичного, когда они понимают, что всем реальным объектам присущи те или иные свойства. Именно свойства отдельных объектов представляют основу для их объединения в множества. Сам способ мышления о множестве исходит из того, что элементы, из которых оно составляется, заранее четко осмысленны (определены) и обладают свойствами, не зависящими от способа образования этого множества. Эти свойства называют характеристическими.
Важно понимать, что понятие «множество – элемент», с одной стороны более широкое понятие, чем «общее отдельное», так как множество может состоять из одного элемента, быть пустым, его элементами могут быть не только реальные объекты, но и любые мыслимые объекты и явления.
С другой стороны, в математике рассматриваются лишь те множества, для которых высказывание «элемент, а принадлежит множеству М» может принимать лишь два истинностных значения «истина» и «ложь».
В реальной действительности это высказывание может принимать более двух истинностных значений . Поэтому в настоящее время быстро развивается новое направление в математике – теория размытых множеств, которая более адекватно отражает реальный мир, чем канторовская теория множеств, особенно для решения задач современной экономики.
Еще одна особенность отличает понятие «множество-элемент» от реальных прообразов этого отношения. В математике предполагается, что всегда можно выделить из множества любой его элемент.

Понятие величины генетически связано с такими целостностями, разбиение которых на части приводит к образованию объектов той же природы, то есть процесс членения не должен приводить к изменению качественных характеристик получаемых частей.
Для реальных объектов процесс членения, при условии сохранения их качественной структуры, возможен лишь до какого-то определенного этапа. Например, если распилить бревно на 100 частей, то не получим 100 бревен.
Математическое понятие «величина» подразумевает возможность неограниченного членения целого с сохранением качественных характеристик частей, что является идеализацией реального отношения части к целому.
Понятие «величина» в математике предполагает и другую идеализацию реальных отношений - возможность составления целого из частей. Например, если разделить площадь куска ткани на 5 частей, а затем сшить, то не получим первоначальный кусок ткани. А если длину отрезка разделить на три равные части, то из этих частей можно составить длину исходного отрезка.
Если сравнить свойства множеств и величин, то важно отметить, что когда рассматривается определенная величина, то она всегда связана с объектом – носителем. Целостность этой величины первична по отношению к ее частям.
Если множество существует в силу того, что существуют его элементы, обладающие определенными свойствами, то часть величины существует в силу того, что есть величина, как нечто целое.
Отличает эти понятия и отношение членения на части. Математическая величина – это однородное и делимое, поэтому при делении величины получаются качественно однородные части (часть длины – длина, часть площади – площадь, часть объема – объем и т.д.). А в результате членения множества мы можем получить его части, качественные характеристики которых могут быть различны. Например, R = Q + 1.
В связи с этим, множество можно составить из любых элементов, а величину как угодно можно членить на части. 
Выделение из множества некоторых подмножеств на основе заданного характеристического свойства позволяет сравнивать множества с точки зрения «часть – целое», то есть точно так же как величины. На этой основе формируются представления о понятиях «отношение включения» и «отношение равенства множеств».
Таким образом, через отношения включения и равенства понятия «множество» и «величина» взаимосвязаны друг с другом.
Среди операций над множествами наиболее простой и естественной является операция объединения множеств, не имеющих общих элементов. Например, сдвинув расположенные рядом конечные множества предметов, получим новое множество, которое и будет объединением первоначальных множеств.
Объединение пересекающихся множеств является психологически более трудной операцией. Прежде чем объединить эти множества, нужно выделить их общую часть, а для этого нужно увидеть каждое множество по отдельности.
Операция вычитания множеств наиболее проста, когда одно множество является подмножеством другого. Для выполнения этой операции необходимо увидеть в множестве его правильную часть и те элементы, которые ей не принадлежат. Более сложен случай, когда одно множество не является правильной частью другого. В этом случае сначала необходимо найти их общую часть, а затем отделить ее от уменьшаемого множества. 
Операцию пересечения множеств можно совершать лишь мысленно, так как необходимо, не изменяя множеств, увидеть их общую часть. Как видим, операция пересечения играет ведущую роль среди других теоретико-множественных операций.
Над величинами, как и над множествами, можно производить операции сложения, вычитания, разбиения на равные части. В отличие от множеств эти операции производятся только над однородными величинами. Сравнение величин порождает отношения «больше», «меньше», «равно».
Как сравнение величин, так и операции над ними допускают предметную интерпретацию. Например, если взять две узкие полоски бумаги, то над ними можно проделать все операции как над элементом величины «длина».
Рассматривая различные отношения, связанные либо с конкретными множествами, либо с величинами, можно заметить, что некоторые отношения имеют общую структуру, хотя и заданы на разных множествах объектов.
Наиболее важными из них являются отношения эквивалентности и порядка. С содержательной точки зрения отношение эквивалентности означает «взаимозаменяемость» объектов относительно некоторого свойства, заданного на этом множестве, и определяется свойствами рефлективности, транзитивности и симметричности.
Отношение эквивалентности на множестве выделяет в нем некоторые подмножества – классы эквивалентности. В связи с тем, что элементы одного и того же класса взаимозаменяемы, всякий его элемент несет полную информацию (в рамках заданного отношения) о любом элементе этого же класса. Поэтому отношение эквивалентности на множестве позволяет переходить от рассмотрения свойств отдельного элемента множества к рассмотрению свойств целого класса элементов на примере одного представителя данного класса.
Множество всех классов эквивалентности некоторого множества М называют фактормножеством. На этом множестве также можно задать определенные операции, сводя их к операциям над элементами.
Следовательно, отношение эквивалентности может быть использовано для получения новых математических объектов путем разбиения множества на классы эквивалентности. Например, при разбиении множества рациональных чисел получаем – классы эквивалентных друг другу дробей, векторов – классы равных друг другу сонаправленных отрезков и т.д.
Кроме рассматриваемого выше отношения эквивалентности, часто приходится рассматривать такие отношения, когда объекты некоторого множества соотносятся по старшинству, по важности, по относительному расположению друг к другу, по следованию во времени и т.д. Математическим образом подобных отношений служит понятие «отношение порядка».
Важная роль рассматриваемых выше понятий состоит не только в том, что они позволяют конструировать новые математические объекты, но и в том, что многие из них являются наглядными моделями алгебраических операций, что имеет огромное значение как для процесса обучения математике, так и обучения другим предметам.
Так, например, моделью одной из важнейших логических операций является математическое понятие «классификация». С точки зрения математики под классификацией понимают разбиение множества объектов на классы эквивалентности по любым признакам. Внутри класса эквивалентности объекты могут различаться по нехарактеристическому для этого класса свойству. На основе его можно выделить классы и упорядочивать их. Этот процесс называется сериацией. Он позволяет выделить в классифицируемом множестве иерархию подмножеств.
Другой вид классификации, связанный с первым, но отличный от него, основан на том, что на множестве сразу задается несколько свойств, причем каждое может принимать одновременно несколько значений. Например, классификация объектов по форме, цвету, которые в свою очередь принимают значения: треугольник, квадрат, круг, синий, зеленый, красный и т.д. Классификация по одному признаку выделяет одни классы эквивалентности, по другому – другие. Результат классификации по обоим признакам будет представлять собой пересечение полученных классов эквивалентности. Такие классификации называют булевыми. Они широко применяются в начальной школе. 
Особую роль для развития стохастического мышления детей играет операция декартова произведения множеств, так как из его определения следует правило произведения: пусть элемент (а) можно выбрать К-способами, а элемент (в) - S – способами, тогда пару элементов (а, в) можно выбрать К х S способами.
Это правило распространяется на n – множеств и позволяет решать основные комбинаторные задачи, связанные с подсчетом числа элементов различных конечных множеств, перебором конечного числа вариантов и т.д. (перестановки, размещения, сочетания).
Рассмотренная выше генетическая основа для развития стохастической линии школьного курса математики и теория развивающего обучения В.В. Давыдова – Д. Б. Эльконина определили структуру содержания программы обучения и методического пособия к ней для детского сада(2),  а также содержание экспериментальных учебников для начальной школы под редакцией Н.Я. Виленкина. Сейчас эти учебники опубликованы в виде тетрадей для массовой школы под редакцией Л.Г. Петерсон [3].
1.2. Основные понятия и методы комбинаторики.
     Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично 
     какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
      Основные правила комбинаторики
     При вычислении количества различных комбинаций используются правила сложения и умножения. Сложение используется, когда множества не совместны. Умножение - когда для каждой комбинации первого множества имеются все комбинации (или одинаковое число комбинаций) второго множества.2
     Пример. Из 28 костей домино берутся 2 кости. В каком числе комбинаций вторая кость будет приложена к первой?
На первом шаге имеется два варианта: выбрать дубль (7 комбинаций) или не дубль (21 комбинация). В первом случае имеется 6 вариантов продолжения, во втором - 12.
Общее число благоприятных комбинаций равно: .
А всего вариантов выбора 2 костей из 28 равно 378; т. е. при большом числе экспериментов в 7 случаях из 9 (294/378 = 7/9) при выборе 2 костей одна кость окажется приложенной к другой.3
        Размещения с повторениями
     Размещение с повторением также в комбинаторике называется кортежем. 
Рассмотрим задачу: сколько разных числовых последовательностей, длины 5,  можно составить из 10 цифр?
Перенумеруем разряды:
1
2
3
4
5
В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр. Независимо от того, какая цифра поставлена, во второй разряд можно также поставить одну из 10 цифр и т. д. Всего получается 105 различных чисел.4
     Для двоичной системы счисления (используются только две цифры: 0 или 1) получаем 25 различных числовых последовательностей. Для системы с основанием к и числом разрядов п соответственно получаем:
                                                                                                                         (1)
n -число позиций (разрядов); k-число элементов в каждой позиции (цифр).
     В общем виде задача ставится следующим образом: имеется k типов предметов (количество предметов каждого типа неограниченно) и п позиций (ящиков, кучек, разрядов). Требуется определить, сколько разных комбинаций можно составить, если в позициях предметы могут повторяться? Ответ дается формулой (1).
     Пример. Сколько разных числовых последовательностей может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления? В первый разряд можно поставить один из трех символов (0, 1 или 2), во второй разряд - также один из трех символов и т. д. Всего получаем З10 чисел.5
     В некоторых случаях имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. Пусть, например, имеется п позиций и на каждую i-ю позицию можно поставить ki предметов. Сколько в этом случае существует разных расстановок предметов по позициям?
Легко обосновывается формула:
                                                                                       (2)
     Пример. В эстафете 100+200+400+800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?
В соответствии с формулой (2) получаем, что число вариантов равно:    .6
        Размещения без повторений
     Рассмотрим задачу: Сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно записать с помощью десяти цифр при условии, что в числовых последовательностях не используются одинаковые цифры?
Перенумеруем разряды:
1
2
3
4
5
В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Независимо от того, какая цифра помещена в первый разряд, во втором можно поставить только одну из 9 цифр, в третий - одну из 8 цифр и т. д. Всего существует  различных числовых последовательностей, в каждой из которых нет двух одинаковых цифр.
     В общем случае, если имеется k позиций и п разных предметов, причем каждый представлен в единственном экземпляре, то количество разных расстановок:
                                                                   ( 3)
В формуле (3) s означает факториал числа s, т. е. произведение всех чисел от 1 до s. Таким образом, s=s.
     Пример 1. Из группы в 25 человек требуется выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько вариантов выбора руководящего состава группы? Старосту выбрать можно одним из 25 способов. Поскольку выбранный староста не может быть своим заместителем, то для выбора заместителя старосты остается 24 варианта. Профорга выбирают одним из 23 способов. Всего вариантов: .7
     Пример 2. На дискотеку пришло 12 девушек и 15 юношей. Объявлен "белый" танец. Все девушки выбрали для танцев юношей (и никто из них не отказался). Сколько могло образоваться танцующих пар? 
     8
     Таким образом, размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных   размещений.
      Перестановки без повторений
     В предыдущих параграфах комбинации отличались как составом предметов, так и их порядком. Однако если в последней задаче юношей было бы тоже 12, то все комбинации отличались бы только порядком. Рассмотрим, сколько различных комбинаций можно получить, переставляя п предметов.
Положим в (3)  , тогда получим
                                                                                                                (4)
     Пример. К кассе кинотеатра подходит 6 человек. Сколько существует различных вариантов установки их в очередь друг за другом? Расставим 6 человек произвольным образом и начнем их переставлять всеми возможными способами. Число полученных перестановок в соответствии с формулой (4) будет равно 6! = 720.9
     Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!,
где .
Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.                       
      Перестановки с повторениями
     Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.
Пусть имеется п1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, пк предметов -го типа и при этом п1+ п2+...+ пк = п. Количество разных перестановок предмето10в
	                                             (5)
     Для обоснования (5) сначала будем переставлять п предметов в предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно п! Затем заметим, что в любой выбранной расстановке перестановка n1   одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично перестановка n2 одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).
     Пример. Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».
     Таким образом, число перестановок букв этого слова равно: 
Р(2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2! 2!)= 13!/16.11
        Сочетания без повторений
         Если требуется выбрать к предметов из п, и при этом порядок выбираемых предметов безразличен, то имеем
.                                                                                                            (6)
 Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
     Формула (6) может быть получена следующим образом. Выберем по очереди к предметов из п. Число вариантов будет равно . В этих расстановках к выбранных предмета имеют свои определенные позиции. Однако нас не интересуют в данном случае позиции выбранных предметов. От перестановки этих предметов интересующий нас выбор не меняется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на 
     Пример 1. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы в колхозе. Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим  варианта. Но так как нас не интересует порядок выбора, а только состав выбранной бригады, поэтому полученный результат нужно разделить еще на 3!12
     Пример 2. В середине 60-х годов в России появились две лотереи, которые были названы "Спортлото": лотерея 5/36 и 6/49. Рассмотрим одну из них, например, 6/49. Играющий покупает билет, на котором имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответствует какому-либо виду спорта. Нужно выделить (зачеркнуть) 6 из этих клеточек и отправить организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи объявляются шесть выигравших номеров. Награждается угадавший все шесть номеров, пять номеров, четыре номера и даже угадавший три номера. Соответственно, чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше выигрыш.
     Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения карточек "Спортлото" при условии, что используется лотерея 6/49. Казалось бы, заполняя последовательно номер за номером, получим: . Но ведь порядок заполнения не имеет значения, тогда получаем:
13
  	Эту же задачу можно решить и другим способом. Выпишем все номера подряд и под выбираемыми номерами поставим 1, а под остальными - 0. Тогда различные варианты заполнения карточек будут отличаться перестановками. При этом переставляются 6 предметов одного вида (единицы) и 49 - 6 = 43 предмета другого вида (нули), т. е. опять

 	Если все участники заполняют карточки по-разному, то в среднем один из примерно 14 миллионов угадает все 6 номеров. А сколько человек в среднем угадают 5 номеров?
     Выберем один из угаданных номеров () и заменим его на один
из не угаданных (). Итого: человек из 14 миллионов
угадают 5 номеров. А сколько угадают 4 номера? Выберем из 6 угаданных два и затем из 43 не угаданных тоже два и перемножим число вариантов выбора. Тогда получим: человек.
     Аналогично найдем, что 3 номера угадают 246820 человек, т. е. примерно 1,77% от всех играющих.
      Сочетания с повторениями
     Пример. Требуется купить 7 пирожных. В магазине имеются пирожные следующих видов: эклеры, песочные, слоеные и наполеоны. Сколько вариантов выбора? Решение: выбранные пирожные заменяем единицами, и добавляем три нуля (разделителя). Каждой перестановке однозначно соответствует некоторый выбор. Например, одному из вариантов покупки будет соответствовать такой код: 1101110101. Пирожные покупаются следующим образом. Количество единиц слева до первого нуля соответствует покупке эклеров, между первым и вторым нулем - покупке песочных, между вторым и третьим - покупке слоеных, единицы после третьего нуля соответствуют числу покупаемых наполеонов. В случае приведенного кода покупается 2 эклера, 3 песочных, 1 слоеное и 1 наполеон. Количество вариантов покупки пирожных равно числу перестановок из 7 объектов одного типа (единиц) и 3 объектов второго типа (нулей).14
     Пусть имеются предметы п разных типов (без ограничения числа предметов каждого типа) и требуется определить, сколько комбинаций можно сделать из них, чтобы в каждую комбинацию входило к предметов. Каждую комбинацию шифруем с помощью 0 и 1, причем 1 соответствуют предметам, а 0 выполняют функцию разделителей. Тогда записав к единиц и добавив п - 1 нуль, мы получим комбинацию, при которой выбираются к предметов первого типа и ни одного предмета остальных типов. Переставляя всеми способами эти к единиц и п - 1 нуль, мы будем каждый раз получать некоторую расстановку, состоящую из к предметов. Тогда
                                                                                 (7)
      Свойства чисел сочетаний
     Приведем некоторые свойства чисел сочетаний, которые часто используются при преобразованиях формул комбинаторики.
1. .
2. .
3. .
     Первое свойство совершенно очевидно. Давайте проверим:
                    
 .
     Второе легко доказывается, если оба члена правой части представить по формуле (6). 
     Третье свойство можно доказать методом математической индукции. Для примера, при п = 2 имеем:
.
 Для п = 3 получаем:
.
     

     
     
     
     
     1.3.Основные понятия и методы статистики.
      Математическая статистика - область современной математики, основанная на теории вероятностей и занятая поиском законов изменения и способов измерения случайных величин, обоснованием методов расчетов, производимых с такими величинами.
     
     Математическая статистика возникла (XVII в) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле,
В XX в. Наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стъюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

Еще в середине XIX начале XX века наблюдается, правда, еще не вполне регулярные, но, тем не менее, приносящие обоюдную пользу, - попытки провести аналогии между психологическими и физическими исследованиями, особенно в области построения лабораторного эксперимента, анализа и обработки экспериментальных данных. Почти одновременно в психологию и физику приходят вероятностные и статистические методы, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и другие. О том, чтобы математически описать деятельность мозга мечтал И.П. Павлов.
В математической статистике выделяют два фундаментальных понятия: генеральная совокупность  и выборка. 
Совокупностью – называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя; 

Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным. Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины. Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу; Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.

Важным параметром является объем совокупности – количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.
     
     Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний. Репрезентативная – выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Иными словами репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру , но точную модель той генеральной совокупности которую она должна отражать , иначе результаты не совпадут с целями исследования. 
     

Методами статистической обработки результатов эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности. Речь идет о таких закономерностях статистического характера, которые существуют между изучаемыми в эксперименте переменными величинами.

Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распр.......................