Анализ промышленного производства, метод авторегрессии с управлением, инвестиции как управляющий фактор

РЕФЕРАТ
	Акишева В.М. Анализ промышленного производства регионов ПФО на основе метода авторегрессии с управлением – Выпускная квалификационная работа / ВятГУ, каф. ММ; рук.ст. преп. каф. ММЧучкалова С.В. – Киров, 2018. ВКР 118 стр., 29 рис., 85 табл., 19 источников, 9 прил.

     Анализ промышленного производства, метод авторегрессии с управлением, инвестиции как управляющий фактор.
     
	Объектом исследования являются показатели, характеризующие промышленное производство регионов.
	Целью работы является анализ промышленного производства регионов на примере субъектов Российской Федерации, входящих в состав Приволжского федерального округа, с использованием инвестиционного управления. Основной задачей работы является разработка процесса прогнозирования производственных показателей на среднесрочную перспективу, используя понятие многомерного вектора с учетом управляющего фактора. 
	В результате работы была построена авторегрессионная модель с управлением. Построенная модель значительно упрощает процедуры  прогнозирования основных показателей развития региона и округа, дает возможность управленцам оценить влияние инвестиций на экономику регионов. Также с помощью модели авторегрессии с параметром управления можно спрогнозировать развитие основных сфер и показателей экономики Приволжского федерального округа в зависимости от планируемых инвестиционных вложений.
ABSTRACT
     Akisheva, V. M., Analysis of industrial production of Volga Federal District regions on the  basis of the autoregressive method with management. FQW / VyatSU, department of mathematical modeling; hands. Cockanova S. V.– Kirov, 2018. PZ 118 page., 29 Fig., 85 Table, 19 sources, 9 app.

     ANALYSIS OF INDUSTRIAL PRODUCTION, AUTOREGRESSION METHOD WITH MANAGEMENT, INVESTMENT AS MANAGING FACTOR

	The object of the study is the indicators characterizing the industrial production of the regions. The subject of the study is the mathematical apparatus for predicting these indicators.
     The aim of the paper is to analyze the industrial production of the regions using the example of the constituent entities of the Russian Federation that are part of the Volga Federal District, using the investment management. The main task of the work is to development of the process of forecasting production indicators for the medium-term perspective, using the concept of a multidimensional vector, taking into account the control factor. 
     As a result of the work, an autoregressive model with management was built. The constructed model significantly simplifies procedures of forecasting the main indicators of the development of the region and the country, enables managers to assess the impact of investment on the economy of the regions. Also, using the autoregressive model with the management parameter, it is possible to forecast the development of the main spheres and indicators of the economy of the Volga Federal District, depending on the planned investment.

Оглавление
Введение	2
1.	Роль инвестиций в период экономических кризисов в  Российской Федерации	4
2.	Модель авторегрессии с управлением при больших объемах данных	6
3.	Фрактальный анализ	13
3.1.	Фрактальные ряды	13
3.2.	Оценка показателя Херста	16
3.3.	Эмпирический закон Херста	19
3.4.	Фрактальная размерность и показатель Херста	19
3.5.	Обоснованность оценки Н	20
4.	Способы оценки адекватности прогноза	24
5.	Фрактальный анализ основных показателей экономического развития регионов ПФО	26
5.1.	RS-анализ показателей	26
5.2.	Совокупность исследуемых показателей	27
6.	Построение модели авторегрессии с управлением	27
6.1.	Применение модели авторегрессии с управлением для прогнозирования производства округа	27
6.2.	Корреляционный анализ связей	28
6.3.	Анализ и прогнозирование показателей по модели авторегрессии	29
6.3.1.	Анализ и прогнозирование без управления	29
6.3.2.	Анализ и прогнозирование с управлением	29
7. Прогнозирование с учетом гипотезы об увеличении инвестиций	29
Заключение	29
Список использованных источников	31

Введение
   Для обеспечения конкурентоспособности и непрерывного роста современной российской экономики в ней должен присутствовать такой фактор как эффективно функционирующая система государственного стратегического управления.
   Стратегическими, в настоящее время, можно считать меры, направленные на преодоление кризисных явлений в экономике. По поручению Правительства Российской Федерацииведется активная работа в этом направлении по мониторингу мероприятий, нацеленных на восстановлениеиоздоровление экономики.
   Развитие системы стратегического управления на государственном уровне даст возможность изменения подхода к среднесрочному прогнозированию, позволит связать с ним прогнозирование тенденций долгосрочного развития, обеспечить взаимосвязь разработки и реализации долгосрочных программ и стратегий развития Российской Федерации в целом, а так же отдельных регионов и секторов экономики, их взаимную увязку по срокам, целям и мероприятиям. Помимо того, данная система предусматривает развитие механизмов «управления по результатам», которые обеспечивают точную взаимосвязь между результатами деятельности органов государственной власти и выделенными на их достижение средствами из бюджета.
   В этих условиях были разработаны планы мероприятий по реализации стратегии развития промышленного производства всех федеральных округов Российской Федерации, в том числе Приволжского федерального округа на период до 2020 года. Стратегия является актуальным и необходимым документом для проведения модернизации производственных мощностей в регионах округа и развития инноваций.  Этот документ создан объединить все региональные проекты, обозначить единую линию развития округа, он способен решить задачу обеспечения сбалансированного развития территорий. Стратегия указывает целевые ориентиры для управления процессом перехода к устойчивому развитию промышленного производства ПФО и оценке эффективности используемых средств. Предполагается осуществление крупномасштабных межрегиональных проектов. В стратегии основное внимание уделяется реализации крупных инвестиционных проектов, направленных на создание новых и модернизацию существующих конкурентоспособных производств в реальном секторе экономики; развитию транспортной инфраструктуры, направленной на создание экономически эффективной, современной логистики перевозок; комплексному освоению минерально-сырьевой базы и развитию энергетики, в том числе мерам по повышению энергоэффективности экономики и внедрению ресурсосберегающих технологий.
   Особый интерес во времена мирового финансового кризиса представляют исследования, направленные на изучение методов и особенностей прогнозирования в таких областях, как маркетинг и маркетинговые исследования, финансовые рынки, финансовая стабильность, оценка рисков и т.д. Отечественные ученые активно адаптируют и внедряют в российскую науку  задачи, методы, и модели, которые были разработаны и успешно использовались на западе, и сейчас они оказались применимыми для нашей экономики. Благодаря результатам этих исследований и адаптивному освоению стали известны модели финансовой эконометрики, сформировались исчерпывающее понятие о решении реальных задач по формированию портфеля ценных бумаг, стали применяться эконометрические модели нобелевских лауреатов.
   Все вышеизложенное определило актуальность и выбор темы работы, посвященной разработке многомерных моделей с управляющим фактором, которые обеспечивают достаточно надежные оценки взаимосвязанных показателей развития промышленного производства регионов. 
   Объектом исследования являются показатели, характеризующие промышленное производство регионов. Предмет исследования - математический аппарат прогнозирования данных показателей.
   Теоретической и методологической основой исследования являются современные достижения экономической и математической науки, труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные многомерному моделированию, адаптивному прогнозированию производственных процессов региональной экономики. 
   В работе использована книга американского специалиста Эдгара Петерса «Хаос и порядок на рынке капитала» посвященная современным проблемам нелинейной динамики (экономической синергетики). В ней описаны и проанализированы процессы, происходящие на рынках капитала под влиянием объективных экономических условий и субъективных участников рынка. Обсуждаются проблемы прогнозирования изменчивости рынков, предлагаются методы долгосрочного прогноза для рынков, затрагиваются теории циклов, экономического хаоса, экономических кризисов. Подход к решению проблемы Петерс основывает на систематическом применении фрактального анализа.
   На основе научного труда профессора Александра Витальевича Прасолова «Математические модели динамики в экономике», где рассматриваются некоторые динамические модели экономических явлений и анализируются линейные методы на примерах построения временных рядов и управляемых процессов, в работе построена совершенно новая модель анализа развития экономики с помощью метода авторегрессии с параметром управления.
   Также в работе была использована справочная и методическая литература, статистическая информация, нормативные и законодательные акты, материалы периодической печати, а так же ресурсы сети Интернет.
   Целью работы является анализ развития промышленного производства регионов на примере субъектов Российской Федерации, входящих в состав Приволжского федерального округа, с использованием инвестиционногоуправления. Основной задачей работы является разработка процесса прогнозирования показателей промышленного производства на среднесрочную перспективу, используя понятие многомерного вектора с учетом управляющего фактора.
   Информационной базой послужили официальные данные, полученные с сайтов Федеральной службы государственной статистики и Единой межведомственной информационно-статистической системы (ЕМИСС).
   Практическая часть исследуемой темы реализована с помощью компьютерных программ «STATISTIKA», «MSEXCEL» и «Maple 2015».
   
 Роль инвестиций в период экономических кризисов в  Российской Федерации

   На экономическое развитие отдельных государств и регионов, а также на экономику в глобальном смысле мировой финансовый кризис оказывает самое негативное воздействие. Поэтому весьма актуальным и значимым направлением изучения является исследование современной российской инвестиционной политики в период кризиса, а также эффективное использование внутренних инвестиционных ресурсов России, особенно в условиях глобального кризиса. Для российской научно-теоретической и прикладной экономической мысли вопрос разработки инвестиционной политики встает не в первый раз. Многие выдающиеся российские ученые-экономисты еще в 90-х гг.прошлого века выдвигали новаторские и неординарные методы и способы стимулирования инвестиций в российскую экономику. Без сомнения, кризис 1998 года добавил данным работам, как теоретического, так и прикладного толка, особенную значимость и популярность.
   Задача привлечения инвестиций в российскую экономику, столь важная в условиях финансовых экономических кризисов 1998 и 2008 годов, после восстановления и развития российской экономики, обусловленной стабильностью политического режима и высокими ценами на энергоресурсы на мировых рынках, вновь стала актуальной. Экономический кризис, начавшийся в 2014 году, и его прямое влияние на российскую экономику обусловили необходимость концептуальных и практических разработок политики привлечения инвестиций. Вследствие этого появились многочисленные публикации, посвящённые поиску стратегии привлечения в российскую экономику дополнительных инвестиций, особенно в условиях оттока капитала за рубеж. Таким образом, российский финансово-экономический кризис обусловил необходимость поиска мер и методов привлечения инвестиций отечественных инвесторов в реальные сектора российской экономики. Поиск оптимальных решений продолжается и необходимость свежих концептуальных решений в данной области как никогда очевидна[2].
   Финансово-экономический кризис не следует пессимистично рассматривать как однозначное время потерь, потому что данный период в развитии экономики предлагает предпринимателям отличную возможность заработать достойные деньги на хорошей инвестиционной идее. Более того, по мнению редактора журнала "Экономические стратегии" В.Агеева. " события прогрессирующего мирового финансового кризиса требуют конкретизации предназначения российской инвестиционной стратегии и обновления национальной стратегии развития отраслей российской экономики"[2].
   Основные меры по преодолению кризиса и содействию финансовому и реальному секторам экономики должны быть обусловлены увеличением поддержки программ кредитования и инвестирования малого, а также инновационного бизнеса. Также следует обратить внимание, что качество инвестиционного менеджмента, и даже антикризисного инвестиционного менеджмента оказывает на доходность инвестиций сильное влияние. Более того, в настоящее время для успешного вложения инвестиций и осуществления верной инвестиционной политики необходим точный прогноз, рынку и проекту на 2-3 года и выбор правильной стратегии [2].
   Экономический кризис по-разному воздействует на российские регионы, причём, как отметил президент Института современного развития (ИНСОР) И.Юргенс," на первый план выходит качество управления, умение выстроить новую систему работы с инвесторами и искусно применять те инструменты, которые созданы в последние годы", продолжение мегапроектов, финансируемых из Инвестфонда РФ, несмотря на то, что их финансирование сократилось почти в двое, и приоритет отдан детально проработанным проектам. В условиях кризиса также увеличивается значимость региональных властей в поисках инвестиционных ресурсов, так какименно инвестиции способны увеличить объемы валового регионального продукта и пополнить местные бюджеты. Для большинства российских регионов инвестиции представляют реальную возможность укрепить конкурентные преимущества в условиях экономического кризиса и сокращения бюджетов на социально-ориентированные проекты [2].
   Таким образом для определения целесообразности и выгодности финансовых вложений в основной капитал, а так же для прогнозирования влияния этих вложений на основные сферы региона важным этапом будет разработка модели для анализа и прогноза социально-экономических показателей, которая позволит рассмотреть роль инвестиций.
 Модель авторегрессии с управлением при больших объемах данных

   Авторегрессионная модель [autoregressivemodel] — статистическое описание связи значений одного и того же показателя в разные моменты времени: авторегрессия — регрессия некоторого состояния случайного процесса на предшествующие состояния этого процесса[5].
   Таким образом, метод авторегрессии позволяет сохранить информацию об экономическом процессе посредством памяти этого самого процесса и использовать ее для построения прогноза будущих значений.
   Временной ряд — это упорядоченная (по времени) последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом временного ряда. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных.
   Анализ временных рядов — совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогноза. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда[6].
   При макроэкономическом анализе, в данном случае экономики области, эффективнее и целесообразнее построить многомерный временной ряд. Это намного сократит временные затраты на исследование каждого отдельного показателя, позволит построить более надежный прогноз, так как в нем будут учитываться корреляционные связи между рядами. 
   Автокорреляция [autocorrelation, serialcorrelation] — корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса X(t) в моменты времени t1 и t2. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной функцией.
   При анализе временных рядов автокорреляционная функция характеризует внутреннюю зависимость между временным рядом и тем же рядом, но сдвинутым на некоторый промежуток времени (сдвиг). Иначе говоря, это корреляция членов ряда и передвинутых на L единиц времени членов того же ряда: x1, x2, x3, ... и x1+L, x2+L, x3+L, ... Запаздывание L называется лагом и является положительным целым числом [5].
   Автокорреляция первого порядка характеризует тесноту связи между соседними значениями временного ряда, второго порядка – между отстоящими друг от друга на два периода и т.д. Если предположить, что возникшая связь между значениями сохранится и в будущем, возможно получение метода прогнозирования, основанного на построении регрессии точек ряда на самих себя или метода авторегрессии. 
   Методы авторегрессии являются одними из наиболее точных процедур статистического прогноза и поэтому находят достаточно широкое применение. Это объясняется прежде всего тем, что многие экономические показатели хорошо описываются моделями авторегрессии. Модель авторегрессии одномерных процессов можно построить, используя различные пакеты статистического анализа и прогнозирования (SAS, SPSS, STATISTICA, STATA, отечественной разработки - ForecastExpert и др.).
   Многомерная или многоканальная авторегрессия производит одновременную обработку всех имеющихся временных рядов и производит автоматический учет взаимных корреляционных связей между рядами. 
   Предположим, что n-вектор состояния динамической системы измеряется через временной  интервал, принятый за единицу времени. В результате накапливается таблица наблюдений,  где.
   Предположим, что причинно-следственный механизм динамического процесса состоит в линейной зависимости скорости изменения переменной от их текущего состояния, причем каждой от всех. В качестве модели динамики системы можно рассматривать линейные дифференциальные уравнения:
   Из формулы (2.1) следует, что
   или вводя новые обозначения
   приходим к разностной системе:
		
   Постараемся подобрать такую систему (2.5) (т.е. матрицу С и вектор D), чтобы функционал достигал своего наименьшего значения:

   Построим разностную систему для модели авторегрессии с управлением:
   где В – постоянная матрица;
   U - управляющий фактор или факторы, влияющие на изменение всех остальных наблюдений.
   Функционал для такой модели:
   Прежде, чем приступить к решению этой задачи, введем определение псевдообратной матрицы.
   Матрица P+ размером называется псевдообратной для ((n+1)x(m-1)) матрицы P, если выполняются равенства
   Где R и S – некоторые матрицы, PT – сопряженная к P матрица.
   Если P – квадратная и неособенная матрица, то для нее существует обратная матрица P-1. Но если P – квадратная и особенная матрица, или не квадратная, а прямоугольная, то матрица P не имеет обратной. Однако, в этом случае, для произвольной прямоугольной матрицы P существует псевдообратная матрица P+, которая обладает некоторыми свойствами обратной матрицы. В случае, когда P – квадратная неособенная матрица, псевдообратная матрица P+  совпадает с обратнойP-1.
   Если P – квадратная неособенная матрица, то уравнение (2.9) имеет единственное решение P+ = P-1. Если же P – произвольная прямоугольная матрица размерности ((n+1)x(m-1)), то решение уравнения (2.9), во-первых, имеет размерность ((m-1) x (n+1)), во-вторых определяется неоднозначно. В общем случае оно имеет бесконечно много решений, но среди всех этих решений имеется только одно, обладающее тем свойством, что его строки и столбцы являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов сопряженной матрицы, то есть выполняется свойство (2.10).
   Таким образом, имеет место следующее утверждение: для произвольной прямоугольной матрицы P существует и единственна ее псевдообратная матрица.
   Для определения псевдообратной матрицы можно дать следующий алгоритм, который называется алгоритмом Гревилля.
   Пусть P – прямоугольная матрица размерности ((n+1)x(m-1)), в которой число строк больше или равно числу столбцов.
   Пусть pk – k-q столбец в ((n+1)x(m-1)) – матрице P, bk – последняя строка в матрице Pk+ (1,…m-1, P1=p1, Pm-1=P). Тогда:
   										
   и для k>1 имеют место реккурентные формулы:
   при этом, если 					, то 
	
   Матрица 		  является псевдообратной для матрицы Pk,если  матрица Bkи строка bkопределяются формулами (2.11-2.14). Этот метод может быть использован для вычисления обратной матрицы.
   Вернемся к задаче определения минимума функционала (2.6). Введем в рассмотрение матрицу H={C,B,D},  тогда систему (2.7) можно переписать в виде: 
   Матрицу размерности назовем лучшим приближением в смысле среднеквадратического отклонения решения системы (2.7), если при значениях «среднеквадратическое отклонение» (2.7) достигает своего наименьшего значения и среди всех матриц С и B и столбца В, для которых это отклонение имеет минимальное значение, матрица имеет наименьшую норму.
   Тогда имеет место следующее утверждение: линейная алгебраическая система относительно Р имеет одно и только одно наилучшее в смысле среднеквадратического отклонения приближенное решение, которое находится по формуле:
   
   Таким образом, по длинному временному ряду наблюдений восстанавливается система уравнений. Все наблюдения во временных рядах зависимы и несут в себе память о всех предшествующих событиях. Это не кратковременная память, которую называют «мартовской», а долговременная память, которая теоретически сохраняется навсегда [4]. 
   Выбранная модель авторегрессии с управлением предполагает, что наблюдения за динамическим процессом производятся большое число раз, большее, чем размерность определяемой системы, поэтому имеется возможность не только создать модель, но и проверить ее адекватность на тех же данных.  
   Вводимое в модель авторегрессии управление позволяет при нахождении системы изменять параметры управления в необходимом диапазоне и влиять на исследуемую систему. Также влияние управляющего фактора можно рассматривать и с заданным лагом.
   Порядок авторегрессии показывает память модели.  Если порядок слишком высокий, то модель будет более сглаженной, а если занижен, то прогноз по модели теряет свою точность.
   Количество компонент в модели также играет важную роль. Если количество компонент в модели уменьшить, то модель станет более сглаженной, а прогнозом будет лишь основная тенденция. Слишком же большое число компонент, используемых для прогноза, приведет к резкому ухудшению его качества. Это объясняется тем, что в дополнение к основным компонентам, описывающим реальные закономерности рядов, к ним присоединяться шумовые компоненты.
   Для выявления длины памяти временного ряда и точного прогноза по данным, необходимо провести фрактальный анализ.
   

 Фрактальный анализ
 Фрактальные ряды
   Развитие фрактальной геометрии стало одним из самых полезных и прекрасных открытий в математике. С помощью фракталов математики создали систему, которая описывает природные формы, используя небольшое количество терминов и правил. Фрактальная геометрия начала развиваться еще в античной Греции, а в XXI в. успешно применяется для исследований многих ученых в различных сферах. Фрактал – это некотораясамосоотнесенность или самоподобие. Фрактальные временные ряды имеют статистическоесамоподобие во времени. 
   В данной работе временные ряды экономических показателей, которые характеризуются наличием долгосрочной памяти, анализируются при помощи фрактальных эконометрических моделей.
   Корреляционную структуру высокого порядка временного ряда описывает такое свойство, как длинная память. Такая корреляционная структура создает нелинейную зависимость в первых моментах распределения и для ее анализа требуется разработка новых нелинейных моделей оценки, учитывающих существование значимой автокорреляции в моментах высших порядков 
   Впервые процессы с длинной памятью были разработаны Херстом (1951 г.) при изучении вместимости образующего водохранилища для проектирования нильской плотины. Херст разрабатывал методики исследования характера цикличности разливов Нила. Он показал, что в рядах данных существует самоповторяющаяся структура с долгосрочной памятью, что необходимо учитывать, а также предложил R/S анализ, метод, позволяющий обнаружить наличие длинной памяти в рядах[5].
   Такой способ исследования фрактальных временных рядов, как R/S метод был создан на основе исследований Херста и  предложен Мандельбротом. 
   Показатель Херста (Н) имеет широкое применение в анализе временных рядов благодаря своей замечательной устойчивости. Он содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Он может отличить случайный ряд от неслучайного, даже если случайный ряд не гауссовский. Если ряд случайный, размах будет увеличиваться пропорционально корню квадратному из времени. Для калибровки временных измерений Херст ввел безразмерное отношение посредством деления размаха на стандартное отклонение наблюдений. Этот способ и стал называться методом нормированного размаха (R/S-анализ).
   Метод Херста изучения временных рядов природных явлений на временные интервалы в экономике и на рынках капитала помогает выяснить, являются ли эти ряды случайными блужданиями. Для переформулирования работы Херста применительно к обобщенным рядам необходимо, прежде всего, определить размах, который был сравним с колебаниями уровня в резервуаре:
   Гдеxt,N – накопленное отклонение за N периодов, ei – прирост в году i, MN– среднее за N периодов.
   Тогда размах становится разностью между максимальными и минимальными уровнями накопленного отклонения
   Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил этот размах на стандартное отклонение исходных наблюдений. Этот «нормированный размах» должен увеличиваться со временем. Херст ввел следующее соотношение:
   В соответствии со статистической механикой показатель H должен был равняться 0.5, если ряд представляет собой случайное блуждание.   Другими словами, размах накопленных отклонений должен увеличиваться пропорционально квадратному корню из времени. Когда H отличается от 0.5, то это значит, что наблюдения не являются независимыми. Каждое наблюдение несет в себе память о всех предшествующих событиях. Это долговременная память, которая теоретически сохраняется навсегда. Недавние события имеют влияние большее, чем события отдаленные, но остаточное влияние этих последних всегда ощутимо. В долговременном масштабе система, которая дает статистику Херста, есть результат длинного потока взаимосвязанных событий. То, что случается сегодня, влияет на будущее. То, где мы находимся теперь - определяется тем, где мы были в прошлом.
   Включение «стрелы времени» невозможно в стандартной эконометрике, которая предполагает ряды инвариантными по отношению ко времени. В противоположность этому мы находим, что время – итеративный процесс, подобный игре хаоса. Влияние настоящего на будущее может быть выражено следующим корреляционным соотношением:


	
   Имеются три различные классификации для показателя Херста:
    H=0.5, указывает на случайный ряд. События случайны и некоррелированы. Правая часть уравнение (3.4) обращается в нуль. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако, это не обязательное условие. R/S анализ может классифицировать произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распределения ему соответствует;
    0 ? H< 0.5, соответствует антиперсистентным или эргодическим рядам. Такой тип системы называют «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то скорее всего в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько H, близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе С в уравнении (3.4) к -0.5, или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. Несмотря на широкое распространение концепции возврата к среднему в экономической и финансовой литературе, до сих пор было найдено мало антиперсистентных рядов;
    При 0.5