Алгебра логики Джорджа Буля

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта» 
(БФУ им. Канта)
Институт природопользования, территориального развития и градостроительства


ПРОЕКТ
Тема
«Алгебра логики Джорджа Буля»
Специальность: 21.02.06 «Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности»





Разработала студентка
группы ГК-11:
Каверина Е.Ю.
Руководитель:
Винель Е.Ю.
Консультанты:
Фёдоров  Д.Г.
 




Калининград
2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ: 



ВВЕДЕНИЕ	3
1.ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛОГИКИ	4
2.БИОГРАФИЯ ДЖОРДЖА БУЛЯ	6
3.ПРИМЕНЕНИЕ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ	8
1.В логических рассуждениях	8
2.Сигнализация	10
3.Переключательные схемы	11
4.ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ	13
5.ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ  РАБОТА	14
ВЫВОД	17
СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ	18


   ВВЕДЕНИЕ
    В настоящее время человеческое общество и научно-технические процессы развиваются, а их главными двигателями становятся информатика и ее практические результаты. Ее технической базой являются средства обработки и передачи информации Скорость их развития поражает, и этому развивающемуся процессу нет равных. В XXI веке достижения информатики уже используются по максимуму в политике, экономике, науке, образовании, медицине, быту, военном деле и т.п. В последнее время вырос интерес к истории развития информатики, в первую очередь к истории появления первых цифровых машин и их создателей. История создания средств цифровых технологий уходит далекое прошлое, но самое главное, что эта история очень интересна, увлекательна и поучительна, а также с ней связаны множество ученых мира, среди этих ученых стоит Джордж Буль. В данном реферате я постараюсь раскрыть некоторые аспекты булевой алгебры и рассмотреть её применение. 
    
   1.ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛОГИКИ
    Понятие логики как науки появилось ещё в XIX в., т.е. задолго до появления науки информатики и компьютеров. Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. С момента зарождения теоретической науки в 6-5 вв. до н.э. (особенно в Древней Греции) были подвергнуты исследованию методы рассуждений, применяемые для убедительного обоснования утверждений. Так начала складываться наука логика. Установившиеся в Греции демократические формы жизни потребовали развития искусства убеждения - ораторского искусства, риторики. В XVII в. Г. В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам. Однако как самостоятельный раздел математики логика начала формироваться только с середины XIX в.. Для того чтобы рассуждать, человеку необходим какой-либо язык. Не удивительно, что математическая логика начиналась с анализа того, как говорят и пишут люди на естественных языках. Этот анализ привёл к тому, что выяснилось существование формулировок, которые невозможно разделить на истинные и ложные, но, тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это приводило к возникновению парадоксов, в том числе в одной из фундаментальных наук математики. Тогда было решено создать искусственные формальные языки, лишённого «вольностей» языка естественного. Стройную научную систему логики впервые разработал великий греческий учёный Аристотель. В своём логическом своде «Органон» («Категории», «Об истолковании», «Аналитики» 1-я и 2-я, «Топика») он создал раздел формальной логики силлогистику. Его труды оказали влияние на развитие логической науки во всём мире. В Европе до 17 века вся логика развивалась на основе аристотелевского учения. Первые значительные попытки превращения логики в математическую науку сделал великий немецкий учёный и политический деятель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 году английский математик Джордж Буль (1815-1864), построив алгебру логики, названную в его честь булевой.
    
   2.БИОГРАФИЯ ДЖОРДЖА БУЛЯ
      Буль  Джордж (2 ноября 1815, Линкольн, Великобритания - 8 декабря 1864, Баллинтемпль, Ирландия), английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) ("Исследование законов мышления", 1854), основу функционирования цифровых компьютеров. 
     Джордж Буль родился в бедной рабочей семье. Первые уроки математики получил у отца и, хотя посещал местную школу, в общем, его можно считать самоучкой. В 12 лет он уже знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками. В16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в Линкольне. В редкие часы досуга зачитывался математическими журналами Механического института, интересовался работами математиков прошлого - Ньютона, Лапласа, Лагранжа, проблемами современной алгебры. 
     Начиная с 1839 года, Буль стал посылать свои работы в новый Кембриджский математический журнал. Его первая работа "Исследования по теории аналитических преобразований" касалась дифференциальных уравнений, алгебраических проблем линейной трансформации и концепции инвариантности. В своем исследовании 1844 года, опубликованном в "Философских трудах Королевского общества", он коснулся проблемы взаимодействия алгебры и исчисления. В том же году молодой ученый был награжден медалью Королевского общества за вклад в математический анализ. 
     Вскоре после того, как Буль убедился, что его алгебра вполне применима к логике, в 1847 году он опубликовал памфлет "Математический анализ логики", в котором высказал идею, что логика более близка к математике, чем к философии. Эта работа была чрезвычайно высоко оценена английским математиком Августом Де Морганом. Благодаря этой работе Буль в 1849 году получил пост профессора математики Куинз-колледжа в графстве Корк, несмотря на то, что он даже не имел университетского образования. 
     В 1854 году он опубликовал работу "Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей". Работы 1847 и 1854 годов дали рождение алгебралогике, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов - истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями - И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе "Законы мышления" (1854) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного сними. 
     В 1857 году Буль был избран членом Королевского общества. Его работы "Трактат о дифференциальных уравнениях" (1859) и "Трактат о вычислении предельных разностей" (1860) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля. 
     Идеи Буля нашли применение в таких областях, о которых он не мог и мечтать - в использующих двоичный код цифровых компьютерах и в телефонной связи. 
    
   3.ПРИМЕНЕНИЕ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

1.В логических рассуждениях
    Мы привыкли к тому, что числа применяются для обозначения количества - большего или меньшего. Но если чисел всего два, то может быть только два варианта количества,.. тогда это странно было бы называть "количеством". Поэтому те два объекта, с которыми оперирует булева алгебра, числами называть некорректно. Просто два каких-то объекта. Какие именно - зависит от области применения булевой алгебры или, как говорят математики, от интерпретации.
     Один из вариантов применения булевой алгебры - логические рассуждения. Здесь два объекта интерпретируются как истина (будем обозначать как true) и ложь (будем обозначать как false). Далее мы будем называть символы true и false булевыми величинами, а переменные, которые их обозначают - булевыми переменными. 
     Что называть истиной, а что - ложью,- это вопрос, как говорится, "тонкий". Есть разные критерии истины, о которых можно долго говорить. Математическая логика подобных разговоров избегает, как говорят "абстрагируется" от них. Предполагается, что кто-то каким-то образом выяснил, что некое утверждение истинно (true), а другое - ложно (false). Неважно, как он это делает, пусть хоть Афродите молится - лишь бы выяснил. Дальше уже можно применять булеву алгебру для различных операций с этими true и false. Результат будет получен, опять же, в виде true и false. Теперь тот, кто применял булеву алгебру к откровениям Афродиты, должен сам истолковать, что же будет означать для него такая "истина" и такая   "ложь". 
     Можно для выяснения "истины" и "лжи" долго бить в бубен или лбом об пол. Будет достигнут некий результат... который можно подставить в формулы булевой алгебры. Потом что-то получится в процессе вычислений... и это может оказаться "истиной" или "ложью" с точки зрения специалиста по битию в бубен. Если булева алгебра будет постоянно выдавать правильные ответы , тогда для этой цели она будет признана пригодной. Вопрос о том, для чего пригодна булева алгебра, а для чего - не пригодна остается за рамками самой булевой алгебры. 
     Итак, будем рассматривать интерпретацию булевой алгебры "истина"/"ложь". Пусть нам был дан некий фрагмент текста x и мы каким-то способом (который остается за рамками булевой алгебры) выясняем: истинный ли этот фрагмент текста или насколько истинный. Результат выяснения мы будем обозначать так: Tr(x). В некоторых случаях выяснить нам не удастся ничего, например, если этот фрагмент текста бессмысленный или непонятный. Если истинность установить можно, то такие тексты мы будем называть "высказываниями". 
    Высказывание - это фрагмент текста, для которого можно выяснить его истинность (хотя бы приблизительно). 
     В булевой алгебре рассматриваются только те высказывания, для которых истинность может принимать два значения: либо истина (true), либо ложь (false). Другие значения - нельзя. Оба значения сразу - нельзя. Ни одного значения вообще - тоже нельзя. Подобные высказывания называются булевыми высказываниями. Любые другие тексты в булевой алгебре не рассматриваются. Не то, чтобы это было запрещено уголовным кодексом, просто таковы "область применимости" этого раздела математики. 
    Булево высказывание - это такое высказывание, для которого рассматриваются только два значения истинности: true и false. 
     Поскольку в булевой алгебре есть только два значения истинности, то такую логическую систему называют двузначной. Есть и другие двузначные логические системы. Есть в математике и многозначные системы, которые допускают промежуточные градации между "истиной" и "ложью", которые по смыслу соответствуют таким выражениям, как "сомнительно", "скорее всего истина", "вряд ли" и т.п. Тут важно отметить, что причины, по которым рассматриваются только две градации истинности, также остаются за рамками булевой алгебры.
2.Сигнализация
    Алгебра логики используется при проектировании сигнализации. Пусть руководитель органа внутренних дел формулирует следующие условия работы сигнализации с охраняемого объекта: “желтый световой сигнал у дежурного по объекту включается ночью, если на каком-либо этаже здания, кроме первого этажа появляется человек; если на одном из этих этажей оказываются два человека, то гаснет желтый сигнал и загорается зеленый; если там оказываются три человека, то горят оба сигнала; при появлении на указанных этажах четырех человек горит красный свет; в том случае, когда на этих этажах находится более четырех человек, звучит сирена — сигнал тревоги (можно, например, считать, что в ночное время на эти этажи могут приходить только четыре человека)”.
    Исходя из условий задачи, разработчик может считать, что проектируемое устройство имеет один входной сигнал, принимающий шесть значений. Эти значения соответствуют следующим положениям дел:
    1-е значение — на втором этаже и выше нет ни одного человека,
    2-е значение — на втором этаже и выше один человек,
    3-е значение — на втором этаже и выше — 2 человека,
    4-е значение — на втором этаже и выше — 3 человека,
    5-е значение — на втором этаже и выше — 4 человека,
    6-е значение — на втором этаже и выше — более 4 человек.
3.Переключательные схемы
    Алгебра логики применяется при проектировании переключательных схем, являющихся элементами автоматизированных систем управления и вычислительных машин. При этом символ “•” интерпретируется как последовательное соединение переключателей, а символ “?” — как параллельное. Например, формулам p • (q ? r) и р • q ? р • r соответствуют следующие схемы:
    
      Рисунок 1
       Переключательные схемы
    р = 1 — переключатель замкнут, р = 0 — разомкнут. Если в схеме имеются два (или более) переключателя р, то они могут быть замкнуты (или разомкнуты) только одновременно (именно поэтому они обозначаются одной и той же буквой).
    По электрической цепи, изображенной на левой схеме, ток идет тогда и только тогда, когда он идет по цепи, изображенной на правой схеме, так как формулы р • (q ? r ) и р • q ? р • r — тождественные.
    Символ “-” интерпретируется как противоположное состояние переключателя, т.е. если р = 1, то p = 0, а если переключатель р замкнут, то p разомкнут. Так, формуле р ? p соответствует схема:
    
      Рисунок 2 
      Переключательная схема
    По этой цепи ток идет всегда, так как р ? р = 1, т.е. если переключатель р разомкнут, то переключатель р замкнут, и наоборот. Лампочка горит постоянно. Можно упростить схему, убрав оба переключателя.
    Алгебра логики располагает средствами, позволяющими найти наиболее простую схему (например, содержащую наименьшее число переключателей) по сравнению с данной, но выполняющую те же функции, что и исходная.
    

   4.ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

    Для логических величин обычно используются три операции:
    Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ?. 
    Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v. 
    Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬. 
    1.Законы рефлексивности:
a ? a = a 
a ? a = a 
    2.Законы коммутативности 
a ? b = b ? a 
a ? b = b ? a 
    3.Законы ассоциативности 
(a ? b) ? c = a ? (b ? c) 
(a ? b) ? c = a ? (b ? c) 
    4.Законы дистрибутивности 
a ? (b ? c) = (a ? b) ? (a ? c) 
a ? (b ? c) = (a ? b) ? (a ? c) 
    5.Закон отрицания отрицания 
¬ (¬ a) = a 
    6.Законы де Моргана 
¬ (a ? b) = ¬ a ? ¬ b 
¬ (a ? b) = ¬ a ? ¬ b 
    7.Законы поглощения 
a ? (a ? b) = a 
a ? (a ? b) = a
    

   5.ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ  РАБОТА
    
    Алгебру логики Джорджа Буля активно используют для изготовления и проектирования сигнализаций, что в наше время вполне актуально, ведь каждый хочет защитить свое имущество от врагов. Вор почти всегда заходит через дверь. И скорее это будет до обеда, чем после. Милицейская статистика квартирных краж каждое лето растет примерно на треть, и эти преступления в числе сложно раскрываемых. Бдительные соседи, хитрые замки - как вариант защитить имущество.
     
      Рисунок 3
       Способы проникновения в квартиру
    Как некоторые считают, надежнее поставить квартиру на сигнализацию. Шансы украсть что-то из охраняемой квартиры - у взломщиков минимальны. Судя по московским цифрам, их чаще всего задерживают на месте преступления.
    Официальная статистика Управления вневедомственной охраны при ГУВД по г. Москве.
Почти 250.000 квартир охраняться вневедомственной охраной Москвы с помощью технических средств.
С начала года:
    * Попытки проникновения – 361
    * Пресечено с задержанием- 356
    * Пресечено без задержания – 5 
    * Допущено краж - 0
    Судя по этим цифрам, можно утверждать, что ставить сигнализации в доме или квартире очень даже выгодно и полезно, ведь преступник будет задержан и наказан, но какие же еще нюансы существуют? В какую сумму обойдется безопасность имущества?
    Есть несколько видов оборудования от самых примитивных до развитых и сложных, их установка составляет различную стоимость:
    * Канал связи – телефон, блокировка двери – от 13 000 рублей;
    * Канал связи GSM, блокировка двери – 30 000 рублей;
    * Дополнительный датчик объема - 3 000 рублей;
    * Охрана загородного дома - 80 000 рублей.
    Эксперты все же  рекомендуют установку такого набора: канал связи GSM, блокировка двери + 2 дополнительных датчика = 36 000 рублей.
    К пультовой сигнализации подключают и пожарную и даже тревожную кнопку, это когда наряд милиции можно вызвать, находясь в квартире. Но это уже дополнительные услуги, которые влияют на стоимость ежемесячной абонентной платы. Впрочем, главная тут составляющая - компенсация, которую прописывают в договоре охраны. Оценивает свое имущество сам клиент, и он же может изменить сумму по письменному заявлению. Если квартиру обокрали, ущерб считают по розничным ценам на день заключения или перезаключения договора. Но свыше прописанной в нем суммы оценки - охрана денег не вернет. А если вернутся вещи в ходе следствия или суда, тут уже клиент обязан вернуть полученную им компенсацию.
    Но все же есть некоторые нюансы, не только установка выбранного оборудования влияет на стоимость договора охраны, но и оценка имущества. Также следует понимать, что охранник не всегда несет материальную ответственность.
    Охрана не несет материальной ответственности : 
    * За кражу в неохраняемый период времени;
    * За кражу через места, от защиты которых клиент отказался;
    * За кражу имущества, совершенную членами семьи клиента;
    * За похищенные ценные бумаги, рукописи, сберкнижки;
    * Если посторонние лица задержаны охраной при совершении ими кражи.
    Касаемо ценных бумаг, рукописей и сберкнижек, если охрана не несет за них материальную ответственность, то их все равно придется страховать.


ВЫВОД
    Из всего вышесказанного  можно сделать вывод что логика появилась задолго до появления компьютерных технологий и используется по сей день, а возникла она вследствие того, что древнегреческими философами были подвергнуты исследованию методы рассуждений, применяемые для убедительного обоснования утверждений. Для удобства были построены функции, которые являлись средствами для построения сложных утверждений и проверки их истинности. Как оказалось, такие функции обладают аналогичными свойствами с алгебраическими операторами, что дало возможность упрощать исходные выражения. Особое свойство логических выражений – возможность их нахождения по значениям. Это получило широкое распространение в цифровой электронике, где используются логические элементы в программировании. Несомненно, Джордж Буль был выдающимся математиком, заложившим фундамент программирования, внесшим неоценимый вклад в развитие алгебры, логики, математики и информатики.


СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. http://baslogic.ru/?%A0_Predmet_i_Nauka:Vozniknovenie_i%A0%0Arazvitie
2. http://mailz.narod.ru/info/djordj_bul.htm
3. https://fil.wikireading.ru/190 
4. http://www.inf1.info/book/export/html/210
5. http://www.dverizamki.org/forum/index.php?action=printpage;topic=5785.0
6. https://35.мвд.рф/press/consultation/krazha
7. http://www.1tv.ru/news/2010-05-31/145185-narodnaya_ekonomika_o_tom_skolko_stoit_postavit_kvartiru_na_signalizatsiyu_i_effektivno_li_eto


ПРИМЕЧАНИЕ
Рисунок 1	11
Рисунок 2	12
Рисунок 3	15














ФГАОУ СПО БФУ ИПТРиГ







Изм.
Кол.
Лист
№док.
Подп.
Дата





СОДЕРЖАНИЕ
Стадия
Лист
Листов






2

Рук. Пр.
Винель. Е.Ю.




Консульт..
Федоров Д.Г.




Разработ.
Каверина Е.Ю.













ФГАОУ СПО БФУ ИПТРиГ 
Лист







19
Изм.
Кол.
Лис.
№до
Подп.
Дат




.......................