ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Семья среднего достатка решила купить дом. В результате обсуждения удалось определить восемь критериев (показателей, характеристик, факторов), которым должен удовлетворять дом.
У членов семьи были следующие критерии:
1) размеры дома: размеры комнат; число комнат; общая площадь
дома;
2) удобное автобусное сообщение: близкая автобусная остановка;
3) окрестности: интенсивность движения транспорта; безопасность;
хороший вид; ухоженные окрестности;
4) когда построен дом: не нуждается в объяснении;
5) двор: включает пространство перед домом, сзади, сбоку, а также
расстояние до соседей;
6) современное оборудование: посудомоечная машина; мусоропровод;
кондиционирование воздуха; система сигнализации и другие подобные
устройства в доме;
7) общее состояние: потребность в ремонте; стены; ковер; драпировка,
чистота; электропроводка; крыша; водопроводная система;
8) финансовые условия: допускается закладная; условия продажи и банковский кредит; низкие налоги.
В семье имеются варианты домов А, Б, В.
Задача заключается в выборе одного из трех домов-кандидатов.
Порядок решения проблемы следующий.
Шаг 1 состоит в декомпозиции и представлении задачи в иерархической форме (рис. 7.7).
На первом (высшем) уровне находится общая цель — "Дом". На втором уровне находятся восемь факторов, или критериев, уточняющих цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся три дома-кандидата, которые должны быть оценены по отношению к факторам (критериям) второго уровня.
Шаг 2 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 2.
Клетки матрицы заполнены в соответствии с субъективными суждениями членов семьи, на основании их предпочтений, восприятия ограничений, возможностей, с использованием шкалы относительной важности от 1 до 9 (табл. 7.16).
Например, на вопрос: какова важность размеров дома относительно удобного автобусного сообщения по отношению к общей цели "выбрать и купить дом"? Члены семьи пришли к соглашению, что размеры существенно важнее и поэтому они внесли 5 в соответствующую клетку матрицы; 1/ 5 автоматически заносится в симметричную относительно диагонали клетку, что соответствует противоположному сравнению. Для большей ясности эти оценки помечены кружками (см. табл. 7.20).
Шаг 3 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 3.
Сравнимые попарно элементы - это возможные варианты выбора дома. Сравнивается, насколько более желателен или хорош тот или иной дом для удовлетворения каждого критерия второго уровня. Получаем восемь матриц суждений размерностью 3x3, поскольку имеется восемь факторов (критериев) на втором уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждому из факторов (критериев). Матрицы вновь содержат суждения членов семьи. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание домов.
Таблица 7.20.
Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2
Общее удовлетворение домом Размеры дома Удобное автобусное сообщение Окрестности Когда построен дом Двор Современное оборудование Общее состояние Финансовое состояние
Размеры дома 1 (5) 3 7 6 6 1/3 1/4
Удобное автобусное сообщение (1/5) 1 1/3 5 3 3 1/5 1/7
Окрестности 1/3 3 1 6 3 4 6 1/5
Когда построен дом 1/7 1/5 1/6 1 1/3 1/4 1/7 1/8
Двор 1/6 1/3 1/3 3 1 1/2 1/5 1/6
Современное оборудование 1/6 1/3 1/4 4 2 1 1/5 1/6
Общее состояние 3 5 1/6 7 5 5 1 1/2
Финансовое состояние 4 7 5 8 6 6 2 1
Дом А. Это самый большой дом, по сравнению с Б и В, с хорошими окрестностями, неинтенсивным движением транспорта; налоги на дом невелики. Двор больше, чем у домов Б и В. Однако общее состояние его не очень хорошее; нужна основательная починка и проведение малярных работ. Из-за того, что дом финансируется банком с высокой процентной ставкой, финансовые условия можно считать неудовлетворительными.
Дом Б. Этот дом немножко меньше дома А, расположен далеко от автобусных остановок, вокруг интенсивное движение транспорта. В нем отсутствуют основные современные удобства. Однако общее состояние очень хорошее. Кроме того, на дом можно получить закладную с довольно низкой процентной ставкой. Это означает, что финансовые условия вполне удовлетворительны.
Дом В. Этот дом очень маленький и в нем нет современных удобств. В окрестностях высокие налоги, но дом в хорошем состоянии и представляется безопасным. Двор больше, чем у дома Б, однако несравненно меньше обширного пространства вокруг дома А. Общее состояние дома хорошее, в нем красивые ковры и обои. Финансовые условия намного лучше, чем для дома А, но не так хороши, как для дома Б.
Результаты суждений семьи представлены в матрице попарных сравнений для уровня 3 (табл. 7.21).
Таблица 7.21.
Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 3
Размер дома А Б В Удобное автобусное сообщение А Б В
А
Б
В 1 6 8
1/6 1 4
1/8 1/4 1 А
Б
В 1 7 1/5
1/7 1 1/8
5 8 1
Окрестности А Б В Когда построен дом А Б В
А
Б
В 1 8 6
1/8 1 1/4
1/6 4 1 А
Б
В 1 1 1
1 1 1
1 1 1
Двор А Б В Современное
оборудование А Б В
А
Б
В 1 5 4
1/5 1 1/3
1/4 3 1 А
Б
В 1 8 6
1/8 1 1/5
1/6 5 1
Общее состояние А Б В Финансовые условия А Б В
А
Б
В 1 1/2 1/2
2 1 1
2 1 1 А
Б
В 1 1/7 1/5
7 1 3
5 1/3 1
Шаг 4 состоит в вычислении для уровня 2 приоритетов, наибольшего собственного значения матрицы суждений (lmax), индекса согласованности и отношения согласованности.
Исходной информацией для решения указанной задачи является матрица попарных сравнений для уровня 2 (табл. 7.22).
В табл. 7.22 расчеты производились следующим образом: а) находим значение %[~ первой строки
аналогично вычисляются собственные вектора других строк.
Проводим нормализацию полученных чисел (складываем значения строк)
r = 2,052 + 0,74 + 1,75 + 0,23 + 0,42 + 0,5 + 1,57 + 4,11 = 11,372.
Определяем вектор приоритетов для первой строки
2,052/11,372 = 0,18.
Аналогично вычисляются значения других строк;
б) определяем наибольшее значение матрицы суждений для уровня 2:
lmax = (9,01?0,18 + (21,86?0,065) + (10,25?0, ?153) + (41?0,02) + (23,3? ?0,037) + (25,75?0,044) + (10,08?0,138) + (2,55?0,362) = 9,73;
в) индекс согласованности (ИС) равен
ИС = (lmax - п)/(п - 1) = (9,73 - 8)/7 = 0,247;
г) отношение согласованности (ОС) получим путем деления ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка.
Для матрицы размером 8?8 случайная согласованность равна 1,41 (табл. 7.20).
ОС = ИС/1,41 = 0,247/1,41 = 0,175.
Таблица 7.22.
Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2,
решение и согласованность
Общее
удовлет-
ворение
домом Размеры
дома Удобное
автобус-
ное сооб-
щение Окрест-
ности Когда
построен
дом Двор Совре-
менное
обору-
дование Общее
состоя-
ние Финансо-
вое
состоя-
ние
Вектор
приори-
тетов
Размеры дома Удобное
автобусное
сообщение
Окрестности
Когда построен дом
Двор
Современное
оборудование
Общее
состояние
Финансовое
состояние 1
1/5
1/3
1/7
1/6
1/6
3
4 5
1
3
1/5
1/3
1/3
5
7 3
1/3
1
1/6
1/3
1/4
1/6
5 7
5
6
1
3
4
7
8 6
3
3
1/3
1
2
5
6 6
3
4
?
1/2
1
5
6 1/3
1/5
6
1/7
1/5
1/5
1
2 1/4
1/7
1/5
1/8
1/6
1/6
?
1 2,052 0,74
1,75
0,23
0,42
0,5
1,57
4,11 0,18 0,065
0,153
0,02
0,037
0,044
0,138
0,362
9,01 21,86 10,31 41 23,3 25,75 10,08 2,25 11,364
lmax =9,73
ИС = 0,247
ОС = 0,75
Отметим, что отношение согласованности (ОС) несколько выше, чем нам хотелось бы, однако для нашего случая нет смысла пересматривать суждения.
В сравнительно больших матрицах (например, от 7 до 9 элементов) часто трудно достигнуть высокого уровня согласованности. Уровень согласованности должен соответствовать тому риску, который сопутствует работе с несогласованными результатами.
Например, при сравнении воздействия лекарств на организм необходимо иметь очень высокий уровень согласованности.
Рассмотрим векторы приоритетов (табл. 7.22). Наибольшее значение имеет вектор "финансовые условия". Ясно, что наличие адекватного финансирования воспринимается семьей как наиболее важный фактор (критерий) при выборе дома. Фактически он почти в 2 раза важнее размеров (0,362 против 0,18) и намного более важен, чем время постройки, который имеет низкий приоритет, равный 0,018. Действительно, при проведении последующих вычислений можно было бы выбрать для рассмотрения только три или четыре наиболее важных фактора (критерия) - скажем, финансирование, окрестности, размеры и общее состояние, так как они окажут наибольшее влияние на окончательный выбор дома.
Для того чтобы преодолеть это, следует просто сложить приоритеты наиболее важных факторов (критериев) и разделить каждый на сумму, получив таким образом новый нормализованный вектор приоритетов.
Шаг 5 состоит в вычислении для уровня 3 приоритетов, наибольшего собственного значения суждений (lmax ), индекса согласованности и отношений согласованности для всех восьми матриц суждений размерностью 3?3.
Результаты суждений представлены в табл. 7.23 в виде матриц сравнения для уровня 3.
Таблица 7.23.
Покупка дома: матрицы попарных сравнений для уровня 3,
решение и согласованность
Размер
дома А Б В Вектор
приоритетов Двор А Б В Вектор
приоритетов
А
Б
В 1 6 8
1/6 1 4
1/8 1/4 1 0,754
0,181
0,065
?max = 3,136
ИС = 0,068
ОС = 0,117 А
Б
В 1 5 4
1/5 1 1/3
1/4 3 1 0,674
0,101
0,226
?max = 3,06
ИС = 0,043
ОС = 0,074
Удобство
автобусных
маршрутов А Б В Вектор
приоритетов Современное
оборудование А Б В Вектор
приоритетов
А
Б
В 1 7 1/5
1/7 1 1/8
5 8 1 0,233
0,005
0,713
?max = 3,247
ИС = 0,124
ОС = 0,213 А
Б
В 1 8 6
1/8 1 1/5
1/6 5 1 0,747
0,060 0,193
?max =3,197
ИС = 0,099
ОС = 0,170
Окрестности А Б В Вектор приоритетов Общее состояние А Б В Вектор приоритетов
A
Б
B 1 8 6
1/8 1 1/4
1/6 4 1 0,745
0,065
0,181
?max = 3,130
ИС = 0,068
ОС = 0,117 А
Б
В 1 1/2 1/2
2 1 1
2 1 1 0,200
0,400
0,400
?max = 3,000
ИС = 0,000
ОС = 0,000
Когда
построен
дом А Б В Вектор
приоритетов Финансовые
условия А Б В Вектор
приоритетов
А
Б
B 1 1 1
1 1 1
1 1 1 0,333
0,333
0,333
?max = 3,000
max
ИС = 0,000
ОС = 0,000 А
Б
В 1 1/7 1/5
7 1 3
5 1/3 1 0,072
0,650
0,278
?max = 3,065
ИС = 0,032
ОС = 0,056
В табл. 7.23 вводятся парные сравнения для третьего уровня иерархии, иллюстрирующие сравнительную желательность домов А, Б и В, по отношению к критериям второго уровня. Видно, что дом Б — лучший по критерию финансирования, а дом А воспринимается как лучший по размерам и удобству автобусного сообщения.
Шаг 6 состоит в вычислении глобальных приоритетов. Для вычисления глобальных приоритетов составляется матрица, в верхнюю строку которой вписываются векторы приоритетов каждого фактора (критерия). Значения векторных приоритетов берутся из табл. 7.22 матрицы попарных сравнений для уровня 2 (последний столбец матрицы - вектор приоритетов).
Столбцы матрицы заполняются значениями векторов приоритетов, которые берутся из матрицы попарных сравнений для уровня 3 (табл. 7.23). Представим матрицу глобальных приоритетов в виде табл. 7.24.
Таблица 7.24.
Покупка дома: матрица глобальных приоритетов
Векторы приоритетов Обобщение или глобальные приоритеты
1
(0,18) 2
(0,065) 3
(0,153) 4
(0,02) 5 (0,037) 6
(0,044) 7 (0,138) S
(0,362)
А 0,754 0,233 0,745 0,333 0,674 0,747 0,200 0,072 0,370
Б 0,181 0,055 0,065 0,333 0,101 0,060 0,400 0,650 0,341
В 0,065 0,713 0,181 0,333 0,226 0,193 0,400 0,278 0,263
Глобальный приоритет вычисляется путем умножения векторов приоритетов второго уровня на векторы приоритетов третьего уровня, затем результаты складываются вдоль каждой строчки. Например, для дома А имеем:
(0,754?0,18) + (0,233?0,065) + (0,745?0,153) + (0,333?0,02) + + (0,647? ?0,037) + (0,747?0,044) + (0,200?0,138) + (0,072?0,362) = 0,370.
Дом А, который был наименее желателен с точки зрения финансовых условий (критерий с наивысшим приоритетом), вопреки ожиданию оказался победителем.
Похожие рефераты:
