Построение матриц парных сравнений
После иерархического воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты факторов (критериев) и оценить каждую из альтернатив по факторам (критериям), выявив самую важную их них.
В МАИ факторы (критерии, элементы) сравниваются попарно по отношению к их воздействию ("весу" или "интенсивности") на общую для них характеристику.
Результаты парных сравнений представляются в виде квадратной матрицы. Квадратная матрица имеет равное число строк и столбцов и представляется в виде
Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметричности, т.е.
аij =1/aij,
где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.
Квадратная матрица имеет также такие характеристики, как собственные векторы и собственные значения.
Раскроем сущность парных сравнений. Пусть А1, А2, А3, ..., Ап — множество из п элементов матрицы и ?1, ?2, ?3, ..., ?п — соответственно их веса, или интенсивности.
С использованием МАИ сравним вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить следующим образом.
Для проведения субъективных парных сравнений разработана шкала, описанная в табл. 7.16.
Таблица 7.16.
Шкала относительной важности
Интенсивность относительной важности Определение Объяснение
1 Равная важность Равный вклад двух видов деятельности в цель
3 Умеренное превосходство одного над другим Опыт и суждения дают легкое превосходство одного вида деятельности над другим
5 Существенное или сильное превосходство Опыт и суждения дают сильное превосходство одного вида деятелы юсти над другим
7 Значительное превосходство Очевидное превосходство одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
2, 4, 6, 8 Промежуточное решение между двумя соседними суждениями Применяются в компромиссном случае
Обратные величины приведенных выше чисел Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)
Относительная важность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрицы (элементы от левого верхнего угла до нижнего правого) содержит только единицы.
Если w1, w2, w3, ..., wп неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале (табл. 7.16), а затем решается проблема нахождения компонента.
Когда проблемы представлены иерархически, матрица составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне, по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне, по отношению к факторам (критериям) второго уровня.
Матрицы попарных сравнений для уровня 2 и 3 показаны в табл. 7.17 и табл. 7.18 (ограничимся четырьмя элементами).
Таблица 7.17.
Матрица попарных сравнений для уровня 2
A1 A2 A3 A4
A1
A2
A3
A4
Таблица 7.18.
Матрица попарных сравнений для уровня 3
A1 К L М A2 К L М
K К
L L
М М
А3 K L М A4 K L М
К K
L L
М М
При сравнении элементов К и L задают вопросы:
какой из них важнее или имеет большее воздействие?
какой из них более вероятен?
какой из них предпочтительнее?
Отметим, что клетки этих матриц не заполнены, они оставлены для оценок или суждений об относительной важности сравниваемых отдельных предметов, по отношению к цели, или критерию (фактору). Если существует шкала сравнений, т.е. имеется некоторый способ измерения, то данные могут использоваться для проведения сравнений, иначе клетки заполняются оценками, полученными в результате субъективных, но продуманных суждений индивидуума или группы, решающей проблему.
Синтез приоритетов
Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.
Порядок формирования локальных приоритетов следующий.
Вычисляем собственные вектора:
Таким образом, компонента собственно вектора первой строки равна
компонента собственного вектора третьей строки равна
После того как компоненты собственного вектора получены для всех п строк, их возможно использовать для дальнейших вычислений:
Когда матрица имеет такой вид, получается, что в действительности х1, х2, х3 и x4 есть не что иное, как w1, w2, w3, ..., wп соответственно. Из отношений ?i/?j определим каждую компоненту ?. Важно отметить, что в матрице суждений нет отношений в виде wi/wj, а имеются только целые числа или их обратные величины из шкалы.
Похожие рефераты:
