Управление динамическими объектами по результатам наблюдений, поступаемых с запаздыванием

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра системного анализа









Выпускная квалификационная работа



“Управление динамическими объектами по результатам наблюдений, поступаемых с запаздыванием”





Студент 415 группы

К. А. Лукоянов

Научный руководитель

И. В. Востриков













Москва, 2017




Содержание

1
Введение
3
2
Описание модели
4

2.1
Основные параметры модели  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

2.2
Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

2.3
Траектория движения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

2.4
Движение по окружности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
Постановка задачи
10
4
Модель управления
11
5
Примеры
12
6
Итоги
16












































2




1 Введение

   В данной работе описывается реализация модели многополосного движения потока автомобилей, а также управление транспортным средством, то есть синтез его управле-ния при движении в этом потоке. За модель машины была выбрана модель Аккермана, позднее будут описаны преимущества данной модели и ее реализация в главе 2. Также учтено зависимое поведение передних колес при повороте, задние колеса считаем распо-ложенными параллельно телу автомобиля с отсутствующим поворотом у них.

   Движение автомобиля рассматривается как плоскопараллельное движение твердого тела по горизонтальной поверхности. Ставится задача синтеза управления при заданных ограничениях для движения автомобиля в потоке.

? [	,	] ? = [0,  ]

? [	,	] ? = [0,  ]

?	= ?, ?	? [ 0, 1] , ? ,	:	?=
  , - прямоугольники, построенные на геометрических центрах машин и векторах на-правления, 0 - время начала моделирования, 1 - конечное время. Последнее условие означает непересечение машин в потоке в каждый момент времени. Учитывается инфор-мация о других транспортных средствах в потоке, которая поступает с запаздыванием. Наблюдаем: расстояния до других машин и расстояния до краев дороги, также известны скорости всех машин. Наблюдения поступают с запаздыванием из-за задержки в обра-ботке показаний с датчиков.

   Разобраны различные ситуации расположения, движения моделей в потоке и синтез управления в этих случаях.































3




2 Описание модели

   Одним из важнейших этапов данной работы стало моделирование движущегося объ-екта, приближенного по своим параметрам к объекту в реальной жизни. Целью было рассмотреть задачу в максимально прикладном направлении, построить базу для даль-нейших исследований, применимых на практике. Опишем модель, которую будем исполь-зовать для визуализации потока. Рассмотрим принцип Аккермана в рулевом управлении.




























Рис. 1: Углы положения передних колес и 0 при рулевом управлении транспортным средством и угол Аккермана




2.1	Основные параметры модели

Рассмотрим параметры модели:
и  0 - углы поворота колес.
- ширина машины - ширина полосы
- расстояние от геометрического центра до правого края полосы - расстояние от геометрического центра до левого края полосы

- расстояние со знаком(для удобства определения сзади машина или впереди по

) от нашего геометрического центра до -ого геометрического центра

- длина машины

  - количество машин в потоке, будем считать управляемую машину нулевой ??

- векторы скоростей геометрических центров, которые в нашем случае является и ??

центрами масс, у управляемой машины	0
 ? - ускорения машин, у управляемой машины  ?0


4




- масса транспортного средства

(·)	- геометрический центр машины

Данные величины однозначно задают следующие характеристики модели:
 - радиус кривизны дуги, по которой движется геометрический центр автомобиля 1 - радиус кривизны дуги, по которой движется центр задней оси автомобиля - угол Аккермана, разность углов поворота левого и правого колес
(·)  - центр окружности, по которой движется машина при повороте, он рассчиты-

вается исходя из условия минимизации трения, оказываемого на внутреннее колесо при повороте, вычислено, что его положение - пересечение перпендикуляров к плоскостям ко-лес, причем эта точка должна лежать на прямой, содержащей заднюю ось автомобиля, что достигается с помощью условия Аккермана.

2.2	Уравнения движения

   Движение автомобиля рассматривается как плоскопараллельное движение твердого тела по горизонтальной поверхности. В общем случае оно описывается дифференциаль-ными уравнениями:




( 

4
=1



4

?


) 4
?






1




4

?
4
?

4

?







=

? 

+? 



? 
+



?  =




=1

+

=1    +

=1
,








? 



? 
=1
( 
) 

=1
(   ) 


















? 

















































где ?  - вектор ускорения геометрического центра автомобиля,	- масса автомобиля,
 	?
- вектор силы сопротивления прямолинейному движению  -го колеса,	- вектор
?
силы взаимодействия с грунтом  -го колеса,	- вектор силы сопротивления воздуха,

- момент инерции автомобиля относительно оси перпендикулярной нашей плоскости, - момент сопротивления повороту -го колеса.
Ускорение точки при плоскопараллельном движении может быть определено как
?
?  =	+	?


   Принцип Аккермана определяет геометрию рулевого управления, которая примени-ма для любых транспортных средств, с целью обеспечения корректного угла поворота рулевых колес при прохождении поворота или кривой. Рудольф Аккерман известен раз-работкой принципа использования наклонных рулевых рычагов, который устраняет эту проблему рулевого управления в транспортных средствах. Если оба колеса повернуты на одинаковую величину, внутреннее колесо будет скрестись по дороге (будет скользить боком) и будет снижать эффективность рулевого управления. Это скольжение колеса, которое также создает нежелательный нагрев и износ колеса, может быть устранено с помощью поворота внутреннего колеса на больший угол, чем угол поворота внешнего колеса.

   Данное рассуждение приводит к следующему условию, которое еще называют Усло-вием Аккермана:

ctg	? ctg 0 =

Центр масс движется по окружности радиуса R
? 

=   22 + 2 ctg2


5




ctg  =
ctg 0 + ctg








2




































Выпишем основные расстояния:

























1 =   1 = ? 














( 2 )2 ? 2 +   ctg
















































= ? 





















( 2 )2

? 2 +   ctg  + 2


























И углы поворота колес:



















































= arctg
? 










2






ctg  + (2 )2
? 1 +





















= arctg
? 


























2





ctg  + (2 )2
? 1 ?




















































=  ?  , - угол Аккермана

0 6  6

     зависит от ? 41? - максимальный угол поворота колеса(технические особенно-сти)
= arctg
(   ( 
ctg?
2
) 

+
? 4 ) 






2


















Рассмотрим радиус кривизны для середины задней оси:
= sgn  ? 












4
( 

) 

+   ctg | | ? 1, ?6  6


1



2
















При отрицательном угле Аккермана - правый поворот, при положительном - левый. Для
=параметрические уравнения траектории при повороте:

=
? 0
cos











1










































sgn ( )

1
( 


) 
2 +


ctg
|
( )
| ?
1







4
















? 

sin

? 
















=











1



































0

sgn ( )
1

( 


) 
2 +

ctg
|
( )
| ?
1








4




















? 


















   В нашей реализации модели мы пренебрежем силами сопротивления а также добавим ограничения:
? [	,	] ? = [0,  ]

? [	,	] ? = [0,  ]

?	= ?, ?	? [ 0, 1] , ? ,	:	?=
  , - прямоугольники, построенные на геометрических центрах машин и векторах на-правления, 0 - время начала моделирования, 1 - конечное время. Последнее условие означает непересечение машин в потоке в каждый момент времени.



6




2.3	Траектория движения












































Рис. 2: Траектория движения


   Выше мы наблюдаем криволинейное движение машины, которое в нашей задаче яв-ляется плоскопараллельным движением твердого тела по горизонтальной поверхности: фиолетовым изображен след от центра задней оси автомобиля, синим - траектория дви-жения геометрического центра автомобиля.












7




Определим скорость (·)

=
[ 
0
^





^] 








Для геометрического центра:
=	+  ? ? ? 

Переходим от координат, привязанным к машине к глобальным координатам c помощью

- угол направления машины:

[ sin( )
cos( )
] 

=
cos( )
? sin( )



Получаем позицию в глобальных координатах:
[   ] 
= ? 
= ? 
_





_ =	, где	- угол поворота машины


2.4	Движение по окружности

Приведем визуализацию движения по окружности, так как траектория перестроения

с полосы на полосу состоит из дуг окружностей, то это важная составляющая нашего движения.
























Рис. 3: Круговое движение


   При заходе на поворот мы рассчитываем координаты центра окружности, по которой будем двигаться во время поворота, перестроение из полосы в полосу составляем из дуг двух окружностей - сначала поворачиваем в сторону полосы, а затем от нее.


8




   Следующее изображение наглядно демонстрирует положение центра окружности на задней оси автомобиля и поворот колес.






































Рис. 4: Круговое движение


Приведем несколько важных сведений о нашей модели:

   Для отрисовки машины в каждый момент времени нам необходимы:вектор скорости, координаты геометрического центра и углы поворота колес. При моделировании потока в каждый момент времени мы знаем эту информацию о каждой машине и перерисовываем весь поток. Заметим, что при управлении мы наблюдаем не координаты, а расстояния. Также до непосредственного поворота мы должны определить желаемый угол поворота одного из колес, поскольку условие Аккермана накладывает связь на эти углы, то нам достаточно управлять одним колесом. Перестроение с полосы на полосу - движение по дугам, радиус кривизны которых мы вычисляем в каждый момент времени. Модуль скорости мы считаем не изменяющимся во время движения по дуге.

   Итак, в нашей модели имеет место рулевое управление(изменение угла колеса для поворота) и педаль газ/тормоз(управление ускорением машины).





9




3 Постановка задачи

   Поставлена следующая задача: Смоделировать поток движущихся машин, выбрать управляемую машину, по данным, поступаемым с запаздыванием, синтезировать управ-ление машины для движения по потоку без столкновений с другими машинами, учитывая ограничения на скорость и ускорение.

   Наблюдаем: Расстояния до других машин и расстояния до краев дороги, также из-вестны скорости всех машин.
В данной задаче несколько этапов:

1. Использование описанной в 2 модели

2. Моделирование потока

3. Синтез управления выбранной машины(алгоритм движения по потоку) Также накладываются ограничения:

? [	,	] , ? = [0,  ]

? [	,	] , ? = [0,  ]

?	= ?, ?	? [ 0, 1] , ? ,	:	?=
  , - прямоугольники, построенные на геометрических центрах машин и векторах на-правления, 0 - время начала моделирования, 1 - конечное время. Последнее условие означает непересечение машин в потоке в каждый момент времени. Примем некоторое упрощение модели, при повороте будем считать = Напомним, что

- ширина полосы

- расстояние от геометрического центра до правого края полосы - расстояние от геометрического центра до левого края полосы
?
     - угол между и , то есть угол, задающий направление движения Построение управления заключается в выборе ускорения при движении по прямой, либо в перестроении в левую или правую полосу:


 , при    > 0,



?
 ,• при    = 0






?

=
 , при    > 0,    >





2





2























 , при    < 0,   ?


2


?  , при    < 0,   > 2
























10


2?




4 Модель управления

   Рассмотрим подробнее синтез управления нашей машины. Реализуется следующий алгоритм: если при последующем движении с = , то есть при максимальном тор-можении, мы успеем сбросить скорость до скорости впереди идущей машины, не врезав-шись в нее не зависимо от ее поведения, то = , в противном случае происходит проверка соседних полос на возможность поворота, если он не возможен, то = , пока не сбросим скорость до скорости впереди идущей, также продолжаем в каждый момент времени проверять можем ли повернуть, то есть в данной модели управления при движениина безопасном расстоянии от впереди идущей машины приоритет отдается смене полосы.
Анализ соседней соседней полосы на возможность поворота осуществляется путем

проверки на протяжении	=	- времени поворота, где	- суммарное изменение

угла поворота от начала смены полосы к моменту ,	- радиус кривизны дуги, по которой
движемся:

Напомним, что

- расстояние со знаком от нашего геометрического центра до -ого геометрического

центра

Так как наблюдения поступают с запаздыванием, то будем оценивать наперед гра-

ничные значения положения машин в потоке






2

1 = sgn (   )?  2
?  2 +   +




2






2

2 = sgn (   )?  2
?  2 +   +




2

1 - расстояние, если наблюдаемая машина будет двигаться с максимальным ускорением

в течение . 2 - расстояние, если наблюдаемая машина будет двигаться с минимальным ускорением в течение .
Тогда для поворота в соседнюю полосу необходимо выполнение следующих условий:

1  2 > 0
{ 
1 < ?

2 < ?

{ 
1 > 3

2 > 3

   Определим условие, при котором мы успеваем сбросить скорость до впереди идущей машины :
=  0
0
?  +

( 
|   | ) 
2








0
?


























|   |


2





11




5 Примеры





































а)	б)	с)

Рис. 5: Перестроение при помехе спереди

   В каждый момент времени выполняется анализ ситуации на дороге: рассчитываются множества достижимости для каждого транспортного средства и синтезируется управ-ление для выбора оптимальной траектории движения.

   В данном случае оптимальным является перестроение в правый ряд. Оно происходит при приближении к впереди идущей машине на минимально допустимое расстояние - путь торможения нашей машины, при этом учитываем, что впереди идущая машина продвинется за это время. Причем при резком торможении машины спереди, находясь на безопасном от нее расстоянии, которое мы рассчитали, мы, тем не менее, не успеем затормозить.
   Поскольку в каждый момент времени мы рассчитываем множества достижимости всех транспортных средств, то перестроение мы выполняем только при пустом пере-сечении нашего множества достижимости с множествами достижимости автомобилей, которые находятся на соседней полосе. В случае их пересечения машина продолжает движение за впереди идущей на безопасном расстоянии, пока пересечение множеств до-стижимости не станет пустым.


12




текст текст текст текст

































































13





























































б)

а)
с)





Рис. 6: Движемся на безопасном расстоянии от впереди идущей машины и поворачиваем как только перестают пересекаться множества достижимости управляемой машины и ближайшей машины в средней полосе


14



























































а)	б)


с)

Рис. 7: Перестроение2



15




6 Итоги

   Смоделирована модель четырехколесного транспортного средства, в ней использу-ется условие Аккермана для минимизации потерь при повороте, смоделирован поток независимо движущихся моделей, рассчитаны множества достижимости, синтезировано управление для движения по данному потоку.

   Данная модель имеет существенные упрощения. В дальнейшем поток можно задать как вероятностную модель, каждая машина в потоке будет поворачивать с некоторой вероятностью и в каждый момент времени мы будем рассчитывать наиболее выгодный маршрут для экстремальной задачи, которая может формулироваться как прохождение сквозь поток за минимальное время в среднем или в другом смысле. Есть возможность добавить машину, за которой нужно следовать, находясь в некоторой окрестности от нее, то есть, минимизировать функцию цены для попадания в искомое множество. Множе-ства достижимости при повороте тоже требуют более точной оценки. Синтез управления также нуждается в доработке, чтобы исключить тупиковые ситуации и нерациональное поведение управляемого объекта в некоторых ситуациях.












































16




Список литературы

[1] Ackermann, J?urgen ; B?unte, Tilman. Automatic car steering control bridges over the driver reaction time. (English). Kybernetika, vol. 33 (1997), issue 1, pp. 61-74

[2] A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. Dynamics and Control Trajectory Tubes. Theory and Computation. Birkhauser, 2014.

[3] А. Б. Куржанский. Лекции по курсу “Динамическое программирование и процессы управления”. Кафедра Системного Анализа ВМК. 1-й семестр 4-го курса, 2016.

[4] Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974, 176 с.

[5] А. А.Радионов, А. Д.Чернышев. Математическая модель движения автомобиля, 2015
















































17
.......................