Упорядоченные алгебраические структуры и ориентации

Глава 2. Упорядоченные алгебраические структуры и ориентации 
     В данной главе вводится структура порядка на полях и рассматривается ряд примеров упорядоченных полей, в том числе вещественно-замкнутых полей, частным случаем которых является поле вещественных (действительных) чисел . Перед рассмотрением структуры порядка на полях мы вводим основные понятия упорядоченных алгебраических структур. В диссертации предполагается, что все рассматриваемые поля имеют не менее двух различных элементов и, в частности, единичный элемент не равен нулевому элементу: .
     Также вводится ориентация евклидовых пространств и гладких многообразий. Будем предполагать, что в рассматриваемом ряде примеров ориентаций n-мерного евклидова пространства и n-мерных гладких многообразий. 
     
2.1. Основные упорядоченные алгебраические структуры
     
     В этом пункте введем понятие об алгебраической операции и алгебраической структуре. Опираясь на это базовые понятия, мы можем задать основные определения упорядоченных структур, а именно; частично упорядоченная и упорядоченная группа, частично упорядоченное и упорядоченное кольцо, упорядоченное и архимедово упорядоченное поле.
     Определение 1. Отображение , заданное на произвольном непустом множестве A, которое ставит упорядоченной паре (a,b) элементов по некоторому правилу в соответствие третий элемент c мы и будем называть алгебраической операцией. 
      этого же множества A.
     Алгебраическую операцию иначе еще называют бинарной операцией.
     Определение 2. Произвольное множество A, на котором задается набор алгебраических операций и отношений и он удовлетворяет некоторой системе аксиом, мы и будем называть алгебраическую структуру или алгебру.
     Определение 3. Частично упорядоченная группа – группа A, на которой задано отношение частичного порядка , .
     Определение 4. Упорядоченная группа – частично упорядоченная группа A, для которой выполняется линейность: все элементы A сравнимы между собой, т.е. либо , либо .
     Определение 5. Частично упорядоченное кольцо – кольцо R (не всегда ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в котором  из неравенств  вытекают неравенства .
     Определение 6 Упорядоченное кольцо – частично упорядоченное кольцо R, для которой выполняется линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо , либо .
     Определение 7. Упорядоченное поле – поле F, на котором задано отношение частичного порядка и выполняется линейность: все элементы G сравнимы между собой, т.е. либо , либо .
     Определение 8. Архимедово упорядоченное поле – упорядоченное поле F, в котором для любых положительных элементов а и b поля существует такое натуральное число n, что .
     
     Определение 9. Упорядоченное множество, в котором  любые 2 элемента имеют точные нижнюю и верхнюю границы, мы будем называть решеткой L. 
     Определение 10. Решетка - это алгебра  с двумя бинарными операциями сложения «+» и умножения «», удовлетворяющими аксиомам, называется решеткой.
Зададим бинарные операции сложения и умножения в виде формул:  и . 
     1) ,  (коммутативность операций); 
     2) ,  (ассоциативность); 
     3) ,  (идемпотентность); 
     4) ,  (законы поглощения). 
     Определение (9) является порядковым определением решетки, а определение (10) – алгебраическим.
     Определение 11. Полной решеткой называется упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани. 
     Любая полная решетка L является решеткой с  и .
     
2.2. Упорядоченные поля 
     
     В этом пункте введем упорядочение поля и некоторые вспомогательные понятия и отношения, докажем ряд свойств введенных понятий и отношений.
     Определение 1. Разбиение множества A – это семейство множеств, такое, что :
     1) ; 
     2) где ; 
     3) . 
     Множества  называются классами данного разбиения.
     Определение 1. Упорядочением поля A называется произвольное подмножество , удовлетворяющее следующим аксиомам: 
1) для  выполняется только одно из следующих трех условий: 
     либо ,   	либо , 		либо . 
     В частности, , причем  
     ; 
     2) сумма и произведение двух произвольных элементов также принадлежит P: .
     В этом случае пара (A,P) называется упорядоченным полем, при этом P называется множеством положительных элементов упорядоченного поля A. 
     Получим ряд следствий из определения упорядоченного поля. 
     1. Если (A,P)  – упорядоченное поле, то P  является разбиением поля A 
     2. Единичный элемент 1  произвольного упорядоченного поля –положителен.
     Доказательство. Так как , то в силу аксиомы 1), либо 1, либо - 1 
содержится в P и, следовательно,  по аксиоме 2).
     Определение 2.  Будем говорить, что характеристика поля A равна 0, если сумма любого числа единиц 1+1+…+1 отлична от нулевого элемента, в противном случае  говорят, что поле имеет конечную характеристику. Нетрудно показать, что в этом случае найдется простое число p такое, что сумма p единиц 1+1+…+1 = 0.
     3.Любое упорядоченное поле имеет характеристику 0.
     Доказательство. Так как  и 1P, то , откуда и следует наше утверждение. 
     Следствие. Любое поле конечной характеристики – не упорядочено.
     Аналогично свойству 1 доказывается следующее утверждение.
     4. Квадрат любого ненулевого элемента -  положителен.
     Следствие. Сумма квадратов ненулевых элементов -  положительна.
     5.Обратный к положительному элементу – положителен.
     Доказательство. Пусть aP. В частности, a0 и значит существует его обратный a. Так как, 1, aP, то утверждение следует из равенства aa=1.
     В дальнейшем, обратный a к ненулевому элементу a0 поля мы будем также записывать как 1/a. 
     Определение 3. Пусть  . Положим  и будем говорить, что элемент a (строго) меньше элемента b. В частности, элемент a называется отрицательным, если , . 
     Получим ряд соотношения для неравенств: 
1) ,
2) ,
3) .
     Замечание.  и .
     Сумма квадратов , так как ,  и .
     Предложение 1. Произведение сумм квадратов в упорядоченного поля A является суммой квадратов.
     Предложение 2. Если  - суммы квадратов и , то  - сумма квадратов. Т.к. .
     Предложение 3. Пусть F некоторое произвольное подполе упорядоченного поля (A,P) и  имеет место пересечение этого подполя и упорядочения поля (A,P), . Другими словами можно сказать, что существует упорядочение подполя F, определяемое данным пересечением. Это упорядочение мы будем называть индуцированным упорядочением.
     Следствие. Имеет место произвольное упорядоченное кольцо R с . Следовательно, упорядочение можно определить и на поле частных. То есть делаем вывод, что дробь положительна, если 
     Пример. Кольцо многочленов  над полем  является упорядоченным. Многочлен  положителен, если
     . 
     Предложение 4. Элемент, такой что  - будем называть бесконечно большим по отношению к кольцу R. Другими словами, в упорядоченном поле можно сделать вывод о существовании больших и малых элементов, являющихся бесконечными. С помощью этой черты можно различить подполе от поля вещественных чисел .
     (A,P) – упорядоченное поле, подполе  – индуцировано упорядочено. 
     Имеет место условие: . Элемент  над полем F.
     Получим ряд следствий из предложения 4:
     1.  – большой, являющийся бесконечным над заданным полем. 
     2.  – малый, являющийся бесконечным над заданным полем. 
     3.  - большой, в одном случае, если  - малый и оба они бесконечны. 
     4. . Если в поле A нет больших элементов, являющийся бесконечными, тогда оно архимедово над подполем F. 
     5. Пусть имеется цепочка :. Поле  - максимальное архимедово поле. , тогда это подполе является максимальным и притом единственным архимедовым подполем, если оно максимально архимедово поле над собой в A.
     Предложение 5. Кольцо нормирования  – это кольцо , где  и .
     Следствие.  - множество элементов, которые не являются бесконечно большими над подполем F.
     Предложение 6. Имеет место идеал . В частности, состоящий из малых элементов бесконечных над F. 
     Следствие.  - максимальный идеал в , являющийся единственным.
     Предложение 7.  – кольцо нормирования, которое определенно упорядочением расширения .
     Предложение 8. Если , (A,P) – упорядоченное поле, и имеют место предложения 5 и 6, то  - вещественное поле. 
     Доказательство. Докажем от противного. Если предложение 8 неверно, то имеет место равенство: , что есть противоречие, так как , a - бесконечно малый элемент.
     
2.2. Вещественные поля
     
     Определение 5. Вещественное поле – это поле A, где –1 не является суммой квадратов в A. Вещественно замкнутое поле A - это вещественное поле, которое вместе с его любым вещественным алгебраическим расширением совпадает с A. То есть, поле A максимально по отношению к свойству вещественности алгебраического замыкания.
     Предложение 2. Пусть A – вещественное поле. 
     1) Если , тогда  или  – вещественное поле. Поле  является вещественным, если a есть сумма квадратов в A. Поле  не является вещественным, если –a есть сумма квадратов в A. 
     2) Поле  вещественно, если f – неприводимый многочлен нечетной степени n из  и  – корень f. 
     Доказательство. . Если а – квадрат в A, то поле  вещественно по условию. Пусть а – не квадрат в A. Если поле  не вещественно, то существуют : 
     .
     1, линейно независимы над A, тогда:
     .
     Если a сумма квадратов, то получим противоречие к условию. Случай:
     
     есть частное сумм квадратов и означает, что –а сумма квадратов. То есть  вещественно, что есть доказательство первого утверждения. 
     Для доказательства второго, предположим, что  не вещественно. 
     Тогда: 
     ,
     где многочлены  имеют степени . В  существует многочлен h:
     .
     Сумма  в четной степени  и , поскольку иначе –1 тогда будет суммой квадратов в A. Поскольку f имеет нечетную степень n, h стоят в нечетной степени . Если  – корень h, то –1 сумма квадратов в . Так как , то доказательство завершается по индукции. 
     A – вещественное поле. Вещественное замыкание поля A – это вещественно замкнутое поле L, алгебраическое над A. 
     Теорема 1. Любое вещественное поле A имеет вещественное замыкание. Для вещественно замкнутого поля R существует единственное упорядочение (положительные элементы в R есть суммы квадратов).  является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из  имеет корень в R. Имеет место равенство . 
     Доказательство. По лемме Цорна поле A находится в вещественно замкнутом поле, алгебраическом над A. R – вещественно замкнутое поле и , являющихся суммами квадратов. Тогда P замкнуто относительно сложения и умножения. По предложению 2  это квадрат в R и для данного элемента  будет либо , либо . Тогда можно сказать, что Р определяет упорядочение. По предложению 2 всякий многочлен нечетной степени над R имеет корень в R. 
     Следствие. Пусть A - вещественное поле и элемент  не является суммой квадратов. Тогда существует упорядочение поля A, при котором элемент а отрицателен. 
     Предложение 3. Пусть R – поле, такое, что  и . Тогда R вещественно и также вещественно замкнуто. 
     Теорема 2. Пусть R – вещественно замкнутое поле,  и  -многочлен из , где  и . Тогда будет существовать элемент c между a и b, где . 
     Доказательство. В алгебраически замкнутом поле  происходит разложение неприводимого многочлена f над R в произведение неприводимых множителей степеней 1 и 2. Неприводимый многочлен :
     .
     Из суммы квадратов  выходит, что значение знака f зависит от знака некоторого линейного множителя. 
     Лемма. Упорядоченное поле M,   есть алгебраический элемент над N и корень многочлена 
      
     с коэффициентами N. Тогда . 
     Доказательство. При  доказательство очевидно. 
     При  выражаем  через члены меньшей степени, разделим на  и получим доказательство леммы. 
     Замечание. Алгебраический элемент над упорядоченным полем, не является бесконечно большим относительно этого поля. 
     
2.3. Понятие ориентации. 
     
     В этом пункте введем понятие ориентации пространства при помощи упорядоченной тройки векторов и правила правой руки.
     Теорема 1. Произвольная тройка векторов является компланарной, только в одном единственном случае, когда определитель третьего порядка этой тройки векторов равен 0.
     Данную теорему называют условием компланарности трех векторов.
     Правило правой руки. Существует произвольная упорядоченная тройка векторов, которая некомпланарна. Сопоставим трем пальцам руки тройку векторов по правилу: большой палец правой руки есть направление первого вектора, указательный – второго, средний – третьего. Дальше поставьте средний палец так, чтобы его направление указывало на вас. Теперь сведите большой палец к указательному пальцу. Здесь возможны два случая. Для этого представим большой палец как стрелку часов. Первый случай: палец идет к указательному, как стрелка часов, тогда наша тройка векторов является левой. Второй случай: палец идет обратно к направлению стрелки, тогда тройка векторов – правая.
     Как следствие, тройки из левых и правых векторов создают два класса. Эти классы как раз и задают ориентацию пространства, при этом класс из правых троек – создает положительную ориентацию, а класс из левых троек – создает отрицательную ориентацию.
     
2.4. Ориентация евклидовых пространств
     
     В этом пункте рассматривается ориентация в евклидовом пространстве, для этого сформулируем и докажем теорему об ориентации евклидового n-мерного подпространства. 
     Предложение 1. Имеется n-мерное евклидово пространство . В нем существует некоторая произвольная система из упорядоченных линейно независимых векторов. Обозначим их как: . Эти вектора задают матрицу Грама и имеет место параллелепипед, натянутый на эту матрицу из векторов. Определитель этой матрицы равен квадрату объема параллелепипеда:
     .
     Существует произвольное k-мерное подпространство L, . Базисы этого подпространства: , , также введем сумму: , . Из указанных выше условий выведем равенство объемов: . 
     Будем рассматривать определитель матрицы. Получим два результата, рассмотрим их: 
     1)  матрицы положителен, следовательно, можно заявить, что базисы ориентированы одинаково.;
     2)  матрицы отрицателен, следовательно, можно заявить, что базисы ориентированы противоположно. 
     Из ранее полученного результатов можно вывести существование непрерывной системы векторов , зависимой от некоторого параметра , , где выполняется условие , . Эта система называется базисом подпространства P.
     Существование этой системы напрямую зависит от ориентации векторов  и . При положительной (одинаковой) ориентации эта система существует, при отрицательной (противоположной) – не существует.
     Теорема 2. Имеется n-мерное евклидово пространство . В нем существует две некоторые произвольные системы из упорядоченных линейно независимых векторов. Выполняется равенство: 
     . 
     Необходимость и достаточность равенства гласит, чтобы базисы  порождали подпространство в , т.е. их ориентация одинакова, следовательно, есть равенство объемов . 
     Доказательство. 
     Докажем необходимость. Из необходимости следует выполнение равенства. Из ,  следует линейная зависимость системы: . В тоже время линейная независимость системы , выводит сумму:
      и . 
     Необходимость доказана.
     Докажем достаточность. Базисы  порождают подпространство в , их ориентация одинакова и имеет место равенство объемов . Тогда из суммы , можно вывести значения определителя: . Следовательно, можно сделать вывести равенство: .
     Достаточность доказана.
     Из теоремы можно сделать вывод, что через внешнее произведение можно определить величину объема и ориентацию подпространства, где задан этот объем. 
     
2.5. Ориентация гладких многообразий
     
     В этом пункте рассматривается ориентация гладких многообразий, для этого сформулируем понятие n-мерного многообразия и ориентированного многообразия. 
     Определение 1. Пусть W - некоторое произвольное множество точек. Если на этом множестве имеет место структура, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то оно является n-мерным многообразием с дифференцированием.
     1) множество W является объединением из конечного числа областей ; 
     2) любая область  имеет локальные координаты: . 
     Карта - это координатная окрестность или область . Множество карт – это атлас {}. Произвольная не пустая пара пересечений областей  - это область из локальных координат () и (). Эти координаты можно выразить через друг друга: 
     
     .
     Указанные выше функции являются функциями перехода. Якобиан . Множество гладкости многообразия W является множеством функций перехода всех областей пересечения .
     Пример. Произвольное евклидово пространство является многообразием.
     Определение 2. В многообразии W, где якобианы  для всех областей пересечения , есть ориентированное многообразие. 
     Определение 3. Локальные координаты (х) и (у) задают положительную ориентацию в , если якобиан положителен  и отрицательную, если якобиан отрицателен .
     Следствие. Локальные координаты (х), (у) задают две ориентации на евклидовом пространстве . 
     Имеют место многообразия: ,
     Определение 4. Класс гладкости k является гладким и называется отображением: , где все функции перехода гладкие. 
     Следствие. На прямой N, где  и , имеет место числовая функции , а x – точка многообразия М. 
     Определение 5. Произвольные многообразия М, N гладко эквивалентны (диффеоморфны), если для класса гладкости  выполняется: 
     .
     Определение 6. Имеется многообразие М. Рассмотрим вектор, проходящий по касательной в точке x. Этот вектор называют касательным, где x - точка касания. 
     Формула связи записей вектора в различных системах координат:
     .
     Следствие. Имеется М - n-мерное многообразие. Пространство, состоящее из векторов проходящих по касательной к многообразию есть n-мерное линейное пространство . 
     Пусть имеется метрика на многообразии М.
     Определение 7. Невырожденная квадратичная форма, имеющая положительный знак, называется римановой метрикой. 
     Есть следствия.
     1. Форма определена в каждой точке многообразия.
     2. Имеется гладкая зависимость от локальных координат. 
     Симметрической матрицей можно определить метрику:
     .
     Определение 8. Функции  определяют на многообразии следующий тензор (k,l). 
     Имеет место формула связи
     .
     Свойства тензоров в области n-мерного пространства, передаются тензорам многообразия.
     Имеются многообразия М, N с размерностями m и n соответственно.
     Определение 9. Для многообразия N существует подмногообразие М , если  и имеет место вложение многообразий . 
     Следствие. Вложение многообразий взаимно однозначно, если оно не выполняется, то имеет место погружение многообразий.
     Определение 10. Многообразие, которое определяет некоторую область А, которая замкнута на этом многообразии, и ограничена  является многообразием с краем.
     Теорема 3. Структура гладкого многообразия определяется покрытием с координатами (*) и поверхностью (**).
     (*)
     Координаты заданы уравнениями:
     
     (**)
     Поверхность заданна набором:
     
     Следствие 1. Якобиан равен 
     Следствие 2. Имеет место система уравнений 
     
     Репер точка – это точка отсчета некоторой произвольной системы.
     Ориентированное многообразие можно определить иначе: 
     Определение 11. Говорят, что в многообразии задается ориентация, если в точках этого многообразия задан класс ориентации реперов с непрерывной зависимостью от репера. 
     Следствие. Если существует класс ориентации реперов, то многообразие имеет ориентацию. Иначе, если не существует такого класса, то на многообразии нет ориентации. 
     Будем рассматривать гладкую неособую поверхность (**). С ее помощью сформулируем и докажем теорему.
     Теорема 4. Поверхность является ориентируемой в произвольном n-мерном пространстве.
     Доказательство. 
     Рассмотрим n линейно независимых векторов . 
      - стандартный репер.  - касательный репер. Можно вывести, что существует класс ориентации реперов, такой, что он равен стандартному , и имеет непрерывную зависимость, что и требовалось доказать.
     Определение 12. Двусторонней гиперповерхностью называется некоторое (n-1)-мерное подмногообразие , с условиями:
     1) (n-1)-мерное подмногообразие – связное,
     2) имеет место непрерывное поле единичных нормалей, которое однозначно определенно.
     Теорема 5. Двусторонняя гиперповерхность в пространстве  имеет ориентацию. 
     Доказательство. 
     Доказательство тривиально. - единичный вектор нормали к гиперповерхности. Тогда существует согласованность ориентации репера и стандартного репера, что доказывает теорему. 
     Имеется набор ненулевых векторов y и , , задающие одинаковую точку.
     Предложение 2. Класс эквивалентности – это точка проективного пространства .
     Проективное пространство  - это – гладкое многообразие. 
     Комплексное проективное пространство  - набор всевозможных ненулевых векторов в , с точностью до умножения, где .
     Пространство  - это – 2n-мерное гладкое многообразие.
     Теорема 6. Проективная прямая на  гладко эквивалентна (диффеоморфна) двумерной сфере. 
     Следствие.  можно вывести из двумерной сферы  эквивалентностью точек: .
     Определение 13. Некоторое многообразие М имеющая размерность 2n называют комплексно аналитическим многообразием комплексной размерности n, если выполняются условия:
     1) локальные координаты, функции перехода и многообразие  - комплексны;
     2) специальные области  задаются локальными координатами:
     
     3) на пересечении областей  системы локальных координат () и () являются комплексно аналитическими:
     .
     Из определения (13) выведем следующую теорему. 
     Теорема 7. Комплексно аналитическое многообразие М называется многообразием с заданной ориентацией. 
     Доказательство. 
      локальные координаты в области , а  - соответственно в области . Якобианы по вещественным значениям комплексного числа от пары координат  кпаре :
     
     Т.е. имеет место ориентация и теорема доказана.

.......................