Цепные дроби

1



Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»







ФАКУЛЬТЕТ  Физики, математики, информатики

КАФЕДРА  Алгебры, геометрии и ТОМ









Тема работы  «Цепные дроби»





Курсовая работа студентки

3 курса     351 группы

Русановой  Надежды  Алексеевны



   Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент кафедры АГ и ТОМ Воронин В.В.













КУРСК, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

ГЛАВА I. Правильные конечные цепные дроби___________________________4

1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями_________________4

1.2 Подходящие дроби. Их свойства____________________________________7

ГЛАВА II. Бесконечные цепные дроби_________________________________13

2.1Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями______________________________________17

2.1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь___________________________________________17

2.1.2 Сходимость правильных бесконечных цепных дробей________________18

2.1.3 Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью_______________________________20

2.2 Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя________________________________________21

2.2.1 Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью____________________________________________________________22

2.2.2 Приближение действительного числа подходящими дробями__________24

2.2.3 Теорема Дирихле_______________________________________________26

2.2.4 Подходящие дроби как наилучшие приближения____________________29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………..44

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………….....................45




ВВЕДЕНИЕ







Цель данной курсовой работы представляет собой исследование теории цепных дробей. Обращаясь к истории, отметим, что понятие цепных дробей было введено в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей имеет место у итальянского математика Катальди в 1613 году. Неоценимый вклад в дальнейшее развитие теории чисел внес член Петербургской Академии Наук Л.Эйлер, жизнь и научные труды которого плотно связаны с Россией. По теории чисел Эйлер написал более 100 работ. Ученый  доказал почти все теоремы Ферма, которые последний оставил без доказательств, открыл огромное количество новых законов и методов. Ставя перед собой цель изучения природы натуральных чисел исходя из их простоты и определения сколь угодно большого простого числа, Эйлер, исходя из малой теоремы Ферма, смог обобщить ее в двух направлениях. Ученый смог доказать теорему, которая носит его имя. В 1772 году Эйлер получил закон взаимности, который описывает остатки, получающиеся от деления квадратов на простые числа. Безусловно этот закон имеет основополагающее значение для решения неопределенных уравнений второй степени. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый высказал теорию цепных дробей, выдвинул предложение об их использовании для решения дифференциальных уравнений, а также применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Последователями Эйлера в теории цепных дробей стали М. Софронов (1729-1760), академиком В.М. Висковатый (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и многие другие. Большое количество важных результатов этой теории связано с  французским математиком Лагранжем, который открыл метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Структурно данная курсовая работа представлена двумя главами. Первая глава называется «правильные конечные цепные дроби». В ней идет речь о том, как можно представить рациональные числа цепными дробями и раскрываются свойства подходящих дробей.

Вторая глава состоит из двух частей. В первой части рассматривается сходимость правильных бесконечных цепных дробей, а также единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью. Во второй части оцениваются погрешности, которые возникают в результате замены действительного числа его подходящей дробью, рассматривается теорема Дирихле и подходящие дроби как наилучшие приближения.






ГЛАВА I. Правильные конечные цепные дроби







1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями







Пусть целое число – это делитель следующих чисел , которому дадим обозначение общего делителя.  Заметим, что общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть  - рациональное число, причем b>0. Чтобы определить их наибольший общий применим алгоритм Евклида. Таким образом получим, систему равенств:







где неполным частным последовательных делений  соответствуют остатки  с условием b>>>…>>0, а  соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система







из которой последовательной заменой каждой из дробей  и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби  в виде:







Таким образом мы получим алгебраическое выражение, которое будем называть правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью. Необходимо условиться, что  – целое число, а , …,  - натуральные числа.

Существует много разных записей цепных дробей:















Исходя из последнего обозначения получим:







Числа , , …,  будем называть элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида позволяет представить какое угодно рациональное число в виде цепной дроби. В виде элементов цепной дроби выступают неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Необходимо отметить что, равенства системы (2) обозначают, что процесс разложения в цепную дробь представляет собой последовательное выделение целой части и последующее перевертывание дробной части.

Последнее замечание более общее по отношению к первому, так как применимо к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа  несомненно конечно, в связи стем, что алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Несомненно, что любая цепная дробь является каким-либо рациональным числом, другими словами равна какому-то рациональному числу. Но тогда нельзя не поставить вопрос не являются ли разные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Было установлено, что нет, но лишь в том случае,  если выполняется условие.

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .

Доказательство: 1) Обратим внимание, что при невыполнении вышеуказанного условия, единственность не выполняется. В самом деле, при:







таким образом представление можно удлинить:







скажем, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Если , тогда целая часть цепной дроби  равна ее первому неполному частному . Действительно:

	если k=1, то

	если k=2, то ; поэтому

	если k>2, то



=,



где>1, т.к. 



соответственно и получается . Докажем теперь то, что рациональное число  однозначно представляется цепной дробью , при выполнении условия .

Пусть  с условием , . Тогда , так что . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно  и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим , что невозможно. 

Теорема доказана.

Заметим, что при выполнении неравенства  между рациональными числами и конечными цепными дробями устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Примечания:

	В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, .

	При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна, например: , а так как , то .

	Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 3=(3); .







1.2 Подходящие дроби. Их свойства







В теории чисел существует не только разложение обыкновенной дроби в непрерывную, но и наоборот: преобразование цепной дроби  в простую дробь .

В этом процессе огромное значение имеют дроби вида:



или







Они называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Обратим внимание, что ==. Принято считать, что подходящая дробь  имеет порядок k.

До вычисления подходящих дробей обратим внимание что  переходит в , если в первой заменить  выражением .

Итак,



,



,



, …,



при этом учтем, что , , ,, , 



 и так далее.

Анализируя вышеприведенные равенства, можно подметить что закономерность, которая прослеживается в построении формулы для  (ее числителя  и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Следовательно, исходя из принципа математической индукции, для любого k, где , получим



 (3),



и   (4)

 (5)



Далее, когда пойдет речь о подходящих дробях  (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Равенства (3) представляют собой рекуррентные формулы для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. В формулах  для числителя и знаменателя сразу видно, что при возрастании k они также возрастают. Последовательное вычисление числителей  и знаменателей подходящих дробей по формулам (4) и (5) удобно располагать по схеме, представленной в табл. 1.1:



Таблица 1.1











…







…











…







…











…







…





Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3). Последовательность вычислений представим в табл. 1.2.



Таблица 1.2





3

3

2

4

2

2

5

4



3

6

8

27

34

60

270

867



2

3

4

10

15

26

115

368



Подходящие дроби()равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

На практике отыскание неполных частных и подходящих дробей для удобства часто объединяют в одну краткую схему, которую приведена ниже:

=(3, 2, 4, 2, ).







.



А теперь целесообразным будет приступить к рассмотрению ряда свойств подходящих дробей.

	Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство 







Доказательство: Выполним индукцию по n:



При n=1 равенство верно, так как .



Предположим, что это равенство верно и при некотором n=m().



Докажем верность равенства при n=m+1.











то есть равенство верно при n=m+1.



Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех n().

	Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая n–подходящая дробь несократима.

Доказательство: При доказательстве этой теоремы используем метод от противного. Согласно предыдущему свойству имеем .



Предположим, то есть , значит из равенства 



 следует, что  делится на без остатка, что 



невозможно. Следовательно наше предположение ложно, а верно то, что требовалось доказать.



	Теорема: При 



	()



	 ()



Доказательство: Первое равенство получается из

, которое уже было доказано, с помощью деления обеих частей на



. Тогда получим:







, 



что и требовалось доказать.

Рассмотрим доказательство второго равенства.







, ч.т.д

.

	Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, т.е



1=.



Доказательство: , , так что  и положительны.



Неравенство ()   (6) говорит о том, что и все 



следующие знаменатели , , …,  положительны. При , поскольку тогда , из (6) получаем



, что и требовалось доказать.



	Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:



;



.



Две подходящие дроби  и , у которых номер отличается на единицу, называются соседними.

	Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.

Доказательство: По уже доказанному выше получим:



.



Если п –четное, то 











Если п –нечетное, то 











Значит, из двух соседних дробей  и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

	Теорема:   Расстояние   между   двумя   соседними  подходящими 



дробями .



Доказательство: Зная что: 



, получим



, 



теорема доказана.

































































ГЛАВА II.Бесконечные цепные дроби







2.1 Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями







2.1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь







В первой главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь  превращается в конечную непрерывную дробь.



=()



и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Заметим, что процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.

Однако для иррационального числа  указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.



Выражение  (где , )    (7)



возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа  – ее элементами или неполными частными.

Необходимо обратить внимание на то, что разложение  возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части представляет собой однозначный процесс.

Приведем пример разложения иррационального числа .

Пусть . Выделим изего целую часть. =3, а дробную часть 



–3, которая меньше 1, представим в виде , где .



Проводя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, имеем:



;



;



.



Если остановиться на этом шаге, то можно записать:







С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь  записывается в виде 



, а смешанная периодическая  в виде 



.



Итак,  разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

Если мы имеем дело с общим случаем разложения действительного иррационального числа , то тогда поступаем так же, как в примере выше. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:







.



Числа  называются остаточными числами порядка k разложения .

Для бесконечной цепной дроби (7) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.





Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных  и совершенно не зависит от того, является ли  последним элементом или за ним следует еще элемент . В связи с этим для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

Итак, мы имеем:

	, причем ;



	, из чего следует несократимость подходящих



 дробей ;



	.



Сравним теперь подходящую дробь  и кусок разложения  до остаточного числа . Имеем



,



отсюда видно, что вычисление  по  формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае 



заменяется на, а во втором заменяется на . Поэтому на 



опираясь на  следующую формулу 







можно прийти к выводу о справедливости следующего важного равенства



.    (8)



По этой причине мы пишем также , хотя  не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (8) выведем теорему и расположение подходящих дробей разложения .

Теорема:Действительное число  всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Согласно формуле (8) получим:







Но , , так что 



	() и () имеют одинаковый знак, а это значит, что  находится между и ;



	, то есть  ближе к, чем к , ч.т.д.



Так как, то , и так  далее, то можно сделать следующий выод о взаимном расположении подходящих дробей:

	 больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

	подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального  указанные последовательности являются бесконечными), то есть







(в случае рационального, что показано на рисунке 2.1).









———————————————————

                                                    



Рисунок 2.1





Зная то, что при, а значит 



,   переходим   к  дальнейшему выводу, что в случае 



иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, а она в свою очередь должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей

, , … и , , … . Но так как  принадлежит всем сегментам последовательности, то  и совпадает с указанной точкой, так что



.



Поводя итоги, заметим, что бесконечная последовательность подходящих дробей , которая возникает при разложении иррационального , сходится к, колеблясь около него. Или: иррациональное действительное  равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

















2.1.2 Сходимость правильных бесконечных цепных дробей







Одной из последних педагогических инноваций является модульная система образования. Свое название она получила от имеющегося во многих языках слова «модуль», что означает «отдельный завершенный блок», «законченная часть целого». 

Модульная (модульно-рейтинговая) система пришла к нам из-за рубежа. Там она понимается как «дидактический пакет, состоящий из законченных элементов, каждый из которых может быть реализован как автономная система» [8, c.352]. Хорошо спроектированная модульная система характеризуется:

	четким описанием модуля и его цели;

	таким распределением материала, которое позволяет самому ученику спроектировать собственную программу обучения, построенную в соответствии с его потребностями»;

	простотой языка;

	наполнением содержания современными научными идеями.

Каждый модуль — часть учебного материала со всем необходимым дидактическим сопровождением. Из них учащийся самостоятельно выбирает то, что ему нужно, создавая личный маршрут движения к цели. Недостаток модульного построения учебного курса лишь в том, что модулей нужно изготовить больше, чем их может понадобиться.

Наше понимание модульной системы существенно отошло от заокеанского прототипа. Совершенно потерялось главное — из предложенных ему на выбор модулей (частей целостного знания) ученик выбирает те, которые ему нужны, и самостоятельно конструирует из них свой учебный процесс. В таком понимании модульная система — действительно инновация. А если просто сократить или переставить уроки и назвать это модульной системой, то смысл совершенно теряется.

Модульные конструкции блоков уроков пригодны для всех видов учебно-воспитательного процесса. При этом они сохраняются почти в неизменном виде, но все время по-иному сочетаются между собой. В традиционной педагогике это называется «гибкой структурой учебного занятия». [8, c.354].  Эффективность ее использования в различных ситуациях и для решения разнообразных задач изучена достаточно хорошо. При правильном применении ее учебные занятия приносят несомненную пользу, но только тогда, когда она используется как дополнение к классическому уроку, препятствуя его размыванию, расслоению и превращению в неопределенный фрагмент учебно-воспитательного процесса.

В модулях изучения нового материала сегодня чаще всего отражается идея укрупнения дидактических единиц. Не всегда и не везде такие единицы целесообразны, их преимущество доказано только при необходимости формирования обобщенных приемов мышления. При наполнении модуля знаний учитель будет руководствоваться простой и строгой логикой отбора содержания. Главное и основное — для всех, расширение до бесконечности — для избранных. При повторении и изучении нового материала в начале блока внимание уделяется только общеобязательному, основному объему.

Если учитель имеет возможность осуществлять дифференцированное обучение в подгруппах, модуль знаний он трансформирует в соответствии с уровнем и возможностями учеников каждой подгруппы. Таким образом, у него получается как минимум три модуля знаний — минимальный, общий и продвинутый. Рассмотрим наиболее встречающиеся разновидности модулей.

Модуль вводного повторения (ориентации, актуализации). Ведущая роль принадлежит учителю, так как только он знает, какие ранее изученные знания потребуются для введения нового материала. Задача школьников — активно мыслить, действовать. Для определения уровня предшествующей подготовленности учеников учитель использует беседы, тестирование, задачи и упражнения на изучение остаточных знаний, умений.

Модуль изучения нового материала (презентации). Если учитель пошел по пути укрупнения дидактических единиц, то предпочтительна школьная лекция. Но не каждый класс может воспринимать лекции, поэтому нельзя отказываться от бесед, объяснений.

Модули практики предназначены для развития и закрепления умений и навыков. Сперва осуществляется пропедевтическая (диагностическая) практика, после презентации учебного материала следует практика на примерах под управлением педагога, затем самостоятельная практика — возможность поупражняться самостоятельно, но в присутствии учителя, далее по схеме процесс развивается к независимой практике и завершается большим объемом домашней практики. Для подгрупп школьников, желающих ограничиться минимальным объемом, достаточно умения решать шаблонные задачи. 

Модули наблюдения, диагностики и контроля служат для организации и поддерживания непрерывной обратной связи, получения своевременной информации об успешности продвижения в учебе каждого ученика. 

Модуль домашней работы отличает большое разнообразие взглядов. Учителей и учеников подкупают технологии, где домашние задания почти не встречаются. Но если вовремя не подправить в сознании след, созданный на уроке, он исчезает, и к следующему уроку ученик прибывает почти стерильным. Все западные технологии уже прошли через отмену домашних заданий и постепенно возвратились к ним опять. 

Модуль обобщения изученных знаний есть не что иное, как хорошо известное обобщающее повторение, которое необходимо для установления общих связей в изучаемом материале и которое позволяет ученикам увидеть всю тему целиком. 

Модули контроля не имеют особых отличий, разве что контроль тяготеет к использованию объективных способов — прежде всего письменного тестирования во всех его разнообразных формах и видах. Устанавливаются жесткие правила оценивания. Заданий предлагается достаточное количество (не менее 10). Среди них два-три задания минимального уровня, четыре-пять — среднего, два-три — продвинутого по восходящей. 











2.1.3 Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью







Анализируя результаты, которые были получены нами выше, можно сделать вывод, что для каждого действительного иррационального  существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение  в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

Естественно в этом случае возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального  в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще. Убедимся, что только одно.

Иначе говоря: представление действительного иррационального  в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением  с помощью выделения целой части. Рассмотрим доказательство этого утверждения.

Пусть действительное иррациональноепредставлено бесконечной 



непрерывной дробью , тоесть =. Назовем 



бесконечную непрерывную дробь  остатком данной дроби порядка k. исходя из того, что любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то заметим, что это утверждение относится также и к остатку. Обозначим его через , =, другими словами =. 



а следовательно =, иными словами =.

Из соотношения получаем 



, то есть = (11).



Возможности выбора заданий, соответствующих уровню притязаний, не предусматривается. Проверяются задания в порядке их поступления. Если в заданиях минимального уровня (а они идут первыми) допущена хотя бы одна ошибка, тест дальше не проверяется. За задания минимального уровня выставляются невысокие баллы. Общий (средний) уровень влечет за собой повышение баллов, продвинутый — максимальное начисление.

Модуль коррекции обычно следует после модуля контроля. Ученик получает свои работы (тесты) с оценкой и подписью учителя. Сам он может локализовать свои ошибки с точностью до уровня. Разобраться в остальном поможет учитель. При коррекции ученики могут объединиться в подгруппы и искать ошибки сообща. Самостоятельное исправление ошибок для ученика полезнее, чем учительские исправления.

И наконец, модульно-рейтинговая система, где модули (части учебного материала) соединяются с результатами учебной деятельности (оценками). Рейтинговая оценка — это сумма баллов, набранная учащимся (студентом) по всем модулям с помощью всех видов контроля. Некоторые - учебные заведения практикуют рейтинги для стимулирования учебы.







2.2 Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя







Рациональные числа образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.

	При определении типов и структуры уроков стремилась к тому, чтобы запланированный урок позволял максимально активизировать познавательную деятельность учеников. К каждому уроку была проведена тщательная подготовка: изучена рабочая программа по предмету, учебная литература различных авторов по теме, пожелания и замечания учителя математики. Стремилась на уроках использовать проектор. Особенно удобно это было при проведении актуализации знаний и организации самопроверки.

	Проведенные уроки соответствовали рабочей программе учителя математики. На отдельных уроках для определения степени усвоения изучаемого материала применялись карточки с заданиями, математический диктант. В ходе урока осуществлялось выделение наиболее важного материала, всегда были соблюдены принципы доступности, наглядности.

	На уроках я стремилась заинтересовать учеников к оперативному выполнению самостоятельной работы путем выставления только хороших оценок. Существенное внимание уделялось проверке домашнего задания (в виде решения отдельных упражнений у доски, зачитывания ответов с места, проверки тетрадей).

	Дополнительные занятия по математике проводились раз в неделю. Во время такого занятия мне удалось индивидуально позаниматься с одним  учеником по решению уравнений, левая часть которых представлена в виде произведения и с тремя учениками – по вынесению общего множителя за скобки. Необходимо отметить, что пробелы в знаниях были ликвидированы, и в последующем у ребят с этими темами трудностей не возникало.

	







2.2.1 Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью







Теорема 1: Для любых двух соседних подходящих дробей  и к



действительному числу  имеет место неравенство , и если , 



то .



Доказательство:   Если ,   подходящие    дроби    и  , из



которых одна четная, а другая – нечетная, лежат по разные стороны от  (так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробями), и поэтому расстояние отдо любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то есть



.



Если =, то .



Теорема 2: Для любой подходящей дроби  к действительному числу  выполняется неравенство:







Доказательство: Если =, тогда приходим к тому, что левая часть неравенства равна нулю, нов то же время правая часть всегда больше нуля.    Поэтому  при= неравенство выполняется.

 Пусть , другими словами существует подходящая дробь .



При k>0 , а зная предыдущую теорему, получим:



.



Теперь обратим внимание на случай k=0. Если , то



.



Теорема 3: Если 



, то .



Из теорем 1-3 можно сделать вывод о  следующих оценках погрешности:



,,



Здесь первая погрешность наиболее точная, а последняя соответственно– наиболее грубая.















2.2.2 Приближение действительного числа подходящими дробями







Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

	Для актуализации знаний я использовала фронтальный опрос, т.к. он позволяет максимально охватить обучающихся при проверки знаний, войти с ними в контакт. В ходе данного этапа использовались вопросы, затрагивающие основные термины, знать которые необходимо для успешной работы на уроке. 

	Изучение нового материала было Еще до начала урока с целью экономии времени необходимо было позаботиться о раздаче заданий практической работы. На первом этапе передо мной стояла задача проинформировать класс о том, что писать на уроке ученики будут в розданных тетрадях, а тетради с домашней работой нужно будет сдать после урока для проверки. Кроме того, важным было создать благоприятную эмоциональную обстановку. С этой целью я пожелала ребятам успешной разбито на два блока: ознакомление со свойством прямоугольного треугольника о сумме острых углов и со свойством о катете, противолежащим углу 30°. Изучение первого свойства прямоугольно треугольника было организовано в форме практической работы, выполнение которой развивало у учеников умение работать самостоятельно, подмечать закономерность, делать вывод. Рассмотрение свойства прямоугольного треугольника о катете, противолежащим углу 30°, проходило в форме беседы, что способствовало развитию умения грамотно и четко высказываться, слушать, анализировать.

	Первичная проверка понимания изучаемого материала соответственно

	также была разбита на две части: первая часть была посвещена формированию навыков по применению свойства прямоугольного треугольника о сумме острых углов путем решения двух устных задач, а вторая – о катете, противолежащим углу 30° также путем решения двух устных задач. Необходимо отметить,  что условия этих задач мною не проговаривались, а были изображены на рисунке. Это позволяет ребятам учиться самим определять что дано, что нужно найти. Кроме того, решение устных задач позволяет рассмотреть большее их количество на уроке, а также развивает грамотность, логичность речи.

Пусть, перед нами стоит задача заменить N и n меньшими числами  и  так, чтобы  и чтобы отношение  было, по возможности, ближе к .

Используя  аппарат цепных дробей, приходим к такому решению: раскладываем  в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

Имеем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему как показано в табл. 2.1, находим:



Таблица 2.1





1

2

3

7

8

2



1

3

10

73

594

1261



1

2

7

51

415

881



Заметим, что поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь . При этом допущенная погрешность , является совсем несущественной.

Ответ: .

Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее . Вычислим  с точностью до 0,001.

Для то, чтобы выполнить решение придется найти такую подходящую дробь  разложения , чтобы .



Сделаем это, используя схему, представленную в табл. 2.2:



Таблица 2.2





3

3

6

3



3

10

63

199



1

3

19

60



Отсюда делаем вывод, что достаточно взять , так как 19·60>1000. Это значение будет равно  с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как  – подходящая дробь нечетного порядка. Отметим, что можно представить  в виде десятичной дроби, причем мы смело можем взять 3 знака после запятой, так как  является приближенным значением для с точностью до 0,001. Следовательно, имеем  (мы округляем по избытку, так как  является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением  с недостатком или избытком).

Задачи, представленные выше в более общем виде можно сформулировать следующим образом:

	Найти рациональное приближение к действительному  со знаменателем  в виде наиболее близкой к  подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

	Найти рациональное приближение к действительному числу  с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила  (то есть с точностью до). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь  с наименьшим знаменателем  так, чтобы .

2........................