Равновесие нитей с учётом стрелы провисания

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образование

Учреждение высшего образования

Красноярский Государственный аграрный университет

Институт инженерных систем и энергетики

Кафедра О.И.Д.

РЕФЕРАТ

по механике гибких связей

«Равновесие нитей с учётом стрелы провисания»

















                                                                                 Выполнил: студент 35.02.07

                                                                            Специальнось: механизация с/х

                                                                                                    Югай М.В.

                                                                                      Принял: Зотов.А.В.











Красноярск 2016 год.

Равновесие тяжелых нитей с малой стрелой провисания. Уравнение равновесия:

Согласно определению стрела провисания тяжелой нити (цепной линии) называется малой, если она мала по сравнению с горизонтальным пролетом между граничными точками (рис. 1), т. е.



Случай малой стрелы провисания очень часто встречается в различных устройствах (радиоантенны, провода контактных сетей электрофицированных железных дорог и трамваев и т. п.).



Рис. 1

Кроме того, теория нити с малой стрелой провисания имеет непосредственное отношение к расчету висящих конструкций, например мостов. Это объясняется тем, что при малой стреле провисания нить мало отклоняется от горизонтальной проекции ее и можно считать, что распределение силы тяжести висящей нити происходит не по ее длине, а по горизонтальной прямой, т. е. так же как и распределение нагрузки, висящей конструкции (рис. 2). Поэтому мы считаем целесообразным посвятить теории тяжелой нити с малой стрелой провисания отдельную главу.

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений равновесия в предположении, что нить нерастяжима.





Рис. 2.

Так как на нить действуют вертикально направленные параллельные силы тяжести, то уравнения равновесия имеют вид:



В этих уравнениях постоянная интегрирования H равна проекции натяжения нити  в любой ее точке на горизонтальную осьx, Обозначим через q силу тяжести, отнесенную к единице длины горизонтальной оси х, — и будем считать ее заданной функцией абсциссы x действующая на элемент  равнаq Поэтому сила, приходящаяся на единицу длины нити, равна q и она равна проекции на направленную вертикально вниз ось



Из первого уравнения (1.1.1) найдем натяжение нити:



Подставив во второе уравнение (1) значения T и сократив его на  получим дифференциальное уравнение  равновесия нерастяжимой нити, находящейся под действием вертикальной нагрузки, распределенной по горизонтали по произвольному закону:



Это уравнение решается простым повторным интегрированием



где и  - новые произвольные постоянные.

Это решение справедливое при любом законе распределения нагрузки  значительно упрощается при однородной нагрузке. Действительно, в этом случае  и решение (5) принимает вид



Прежде чем перейти к определению основных параметров параболической нити, покажем, что те же результаты можно получить с помощью интегро-дифференциального уравнения равновесия нити. Действительно, при отсутствии сосредоточенных сил  ипри интегро-дифференциальное уравнение равновесия нитиприводится к виду



или, учитывая, что 



Это уравнение отличается от уравнения только формой обозначения постоянной интегрирования  и отсутствием постоянной  (последняя обращается в нуль, если начало координат совпадает с любой точкой нити).

Перейдем к определению основных параметров параболической нити. Найдем прежде всего значение х, при котором правая часть уравнения имеет минимум. Для этого вычислим производную и приравняем ее к нулю. Имеем



Отсюда



причем постоянная интегрирования имеет простой геометрический смысл (см. рис. 1). Теперь уравнение принимает вид



или



где параметра определен прежним равенством



При сделанном выборе начала координат (рис. 1)  при  Внося эти значения для в уравнение (12), найдем  Следовательно,



Имеем



Внося в уравнение (14) значение  найдем стрелу провисания



Заметим, что вершина параболы С может не принадлежать нити, так как последняя совпадает только с частью параболы (рис. 1, б).

Определение стрелы провисания провода при разной высоте точек подвеса

При разной высоте точек подвеса кривая провисания провода будет несимметричной и низшая точка кривой провисания провода будет находиться не в середине пролёта, а ближе либо к точке А, как показано на рис. 3 либо к точке В. В этом случае необходимо определять три различные стрелы провисания:

- стрела провисания в середине пролёта, находится по выражению, тождественному выражению для стрелы провисания при одинаковой высоте точек подвеса провода.

 - стрела провисания провода, измеряемая относительно ординаты низшей точки подвеса А, находится по формуле:



 - стрела провеса провода, измеряемая относительно ординаты высшей точки подвеса В, находится по формуле:

(17)


Рис 3. Кривая провисания провода с разной высотой точек
подвеса

Определение стрелы провисания провода при длине пролётов более чем 800 метров

При длинах пролётов более чем 800 м погрешность значения стрелы провисания превышает допускаемую. В этом случае пользуются формулой, выведенной не из уравнения параболы, а из уравнения цепной линии, и определяют стрелу провисания по двучленной формуле:


(18)




Решение о том, допустимо ли пренебречь вторым членом формулы  (18) или нет, делается на основании вычислений стрелы провисания. Если численное значение второго члена формулы (18) будет меньше чем 0,1% от значения стрелы провисания, то только в этом случае им можно пренебречь.





Определение стрелы провисания провода при пересечении воздушными  линиями электропередачи водных преград и инженерных сооружений

При проектировании воздушных линий требуется определять расстояние по вертикали от провода до различных пересекаемых инженерных сооружений или водных преград, чтобы проверить, будет ли соблюдаться допустимый габарит от низшей точки кривой провисания провода до сооружения или преграды. Как правило, в этих случаях бывает известна только высота точек подвеса провода на опорах (точки А и В см. рис. 4 ниже), а высота низшей точки кривой провисания провода О не известна. Так как местонахождение точки О, которая одновременно является началом координат не известно, то принимают систему координат с началом в фиксированной точке, например, в одной из точек подвеса, которая расположена выше (точка А на рис. 4). Ось X направляют в сторону пролёта, а ось Y - вниз, параллельно действию нагрузки, как это показано на рис. Так как высоты точек подвеса А и В различны, а местонахождение точки О неизвестно, то условие статического равновесия нарушено. В этом случае помимо тяжения H необходимо учесть вертикальную реакцию V, параллельную оси Y, но противоположную ей по направлению.
Независимо от разницы в высотах точек подвеса провода вертикальная реакция зависит только от веса провода, равномерно распределенного по всей его длине, и равна весу, умноженному на половину длины пролёта:





Рис. 4

К определению координат любой точки провода относительно начала, принятого в верхней точке подвеса
Составим уравнение моментов всех внешних сил, приложенных е произвольной точке Х с координатами (х;у) ( на рис. точка Х находится в середине пролёта) с учетом сосредоточенной силы от собственной массы провода рх, действующей в середине рассматриваемого участка:
                                (15)
Искомой величиной в уравнении (15) является . Решая его относительно искомой стрелы провисания, получим:



с  учётом, что 




 


В случае, если точка В окажется выше точки А, необходимо за начало координат принять точку В и изменить направление оси Х, направив ее в сторону пролёта, тогда уравнение (17)  сохранится без изменения.



Вывод:

	Таким образом, нить, находящаяся в равновесии под действием вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по горизонтали, принимает форму. параболы. Такой же вывод мы получили, рассматривая цепную линию с малой стрелой провисания. Это служит обоснованием сделанного предположения, что для тяжелых нитей с малой стрелой провисания можно считать, что нагрузка распределена не по нити, а по ее горизонтальной проекции.

Если  (такую стрелку принято считать относительно большой), то длина нити  будет превосходить пролет  на 2,7%, а максимальное натяжение  превышает его горизонтальную составляющую на 8%. Для стрелы  эти числа соответственно составляют 0,11% и 0,32%.





Список используемых источников:



1) Меркин Д. Р. «Введение в механику гибкой нити», Москва, «Наука», 1980

2) Варданян Г.С., Андреев В.И. «Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности», Москва, «Просвещение», 1995

3)  И. А. Биргер, Р.Р. Мавлютов, «Сопротивление материалов», «Наука», 1986

4)  К.К. Лихарев, Н.А. Сухова, Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов», «Наука», 1980































Введение:

В данном реферате мы будем говорить о  стреле  провисания нити. Приведем понятие стрелы провесания и дадим его определение. Также будем считать величину стрелы провесания при различных высотах точек подвеса струны и в случае провисания провода при пересечении воздушными  линиями электропередачи водных преград и инженерных сооружений. Ещё в данной работе на основании условий равновесия тяжёлых нитей с малой стрелой проведем вывод уравнений равновесия........................