Предельные теоремы для дискретных случайных полей

   Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования 
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Направление: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика

Профиль: 






ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Предельные теоремы для дискретных случайных полей 




Студентка 4-го курса
группы 09-404
«      » 				 2018 г.			________________ А.А. Шойкина
                                                                                      
Научный руководитель
к. ф.-м. н., доцент
«      » 				 2018 г.			________________  В.Т. Дубровин


Зав. кафедрой математической статистики                                                               
к. ф.-м. н., доцент
«      » 				 2018 г.			________________  Е.А. Турилова




Казань – 2018 



СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1. Скорость сходимости в предельных распределениях для слабозависимых дискретных случайных полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Оценка скорости сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Глава 2. Практическое применение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  20
Список используемых источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21
















	















Введение
Предельные теоремы теории вероятностей один из крупных ее разделов, основным объектом исследования в котором являются функции распределения F_n (x) сумм
S_n=x_1+…+ x_n
Случайных величин x_1, x_2, …
Современная теория суммирования независимых случайных величин была создана в 30-40-е годы нашего века, трудами А.Н.Колмогорова, Б.В.Гнеденко, Г.Крамера, П.Леви, В.Феллера, В.М.Золотарева, И.А.Ибрагимова, Ю.В.Линника, В.В.Петрова и многих других ученых, см., напр., [24, 27, 44].
В монографии А. В. Булинского [9] речь идет о предельных теоремах для случайных процессов и полей в условиях слабой зависимости. 
Систематическое исследование случайных полей насчитывает немногим более пятнадцати лет. Случайные поля, или случайные функций, x(t), t?R^n рассматривались например в [9], [20], [11].
Для практики нужно не только выяснить те общие условия  в которых выполнено предельное соотношение, утверждение предельной теоремы, но и знать также точный остаток, скорость сходимости в предельном соотношении.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) устанавливалась для случайных полей при тех или иных ограничениях слабой зависимости многими авторами, см., например, [7, 4, 32]. При этом указывались ограничения на моменты и требования к росту дисперсий. Указывались и другие ограничения, например, семиинвариантные и на спектральную плотность. Частные суммы значений поля брались по разного рода областям, см., например, [22], [29].
Рассмотрим некоторые из условий слабой зависимости. Для случайного поля ?(t), заданного на R^n или на целочисленной решетке  Z^n, введем функцию
?(E_1,E_2 )=sup|P(AB)-P(A)P(B)|,
где верхняя грань берется по всем  где A?F_x (E_1 ),B?F_x (E_2 ), F_x (E)- минимальная ?-алгебра, порожденная всеми ?(t), когда t?E, E?R^n (Z^n).
В [14] c. 208 Добрушин Р. Л. Ввел условия сильного перемешивания (с.п.) для случайных полей:
?(E_1,E_2 )??(d(E_1,E_2 )), где ?(d)?0 при d??, d(E_1,E_2 )-Евклидово расстояние между множествами E_1 и E_2. Им же показано, что условие с.п. вида 
?(E_1,E_2 )?ad(E_1,E_2 )^(-?),?>0 (a=const>0)                      (1)
Удовлетворяет широкий класс случайных полей (см. [28], [29]).
 Булинский А.В. и Журбенко И. Г. [3] видоизменили условия с.п., накладывая ограничения на такие коэффициенты перемешивания:
?(?)=?sup?_(d(D_1,D_2 )??) ?(D_1,D_2 )
где D_1,D_2-полупространства (измеримые множества).
?(?,d)=?sup?_(d(П_1,П_2 )??) (П_1,П_2 )
где П_1,П_2-параллелепипеды (измеримые множества) диаметра не больше d.
Они ввели такое условие с.п.
?_p (?)=?sup?_(|U_1 |+|U_2 |=p,? U?_1?U_2,  d(U_1,U_2 )??) ?(U_1,U_2 )
где ? U?_1?U_2, если ? U?_1??_(t?U_2)??W(t)=0,? где W(t)={s?Z^n |?(s) зависит от ?(t)}. В [7] условия с.п. такие 
(?_p ) ?(?)?C_pq ?^(-q)      (C_pq=const)
Для всех p,q=2,3,… .
Помимо условий с.п. вводятся также условия типа условий m-зависимости для случайных процессов. В [20] Золотухина Л. А. и Чугуева В. Н. доказали ц.п.т. для случайных полей на Z^2 при условии зависимости в наклонных полосах: ?(t,s) не зависит от ?(t^',s^' ), если точка (t,s) не лежит ни на одной из прямых, входящих в полосу, определяемую точкой (t^',s^' ).	
В [21] для ?(t) на Z^m они указали такие условия: ?(t) и ?(s) независимы, если |t_i-s_j |>?_0  (i,j=?(1,m)), где ?_0-фиксированное натуральное число.
Если сравнить эти условия применимости ц.п.т. для случайных полей с слабой зависимостью с соответствующими условиями применимости ц.п.т. к случайным процессам, то можно сказать, что их еще можно ослабить, но не намного. Дальнейшая задача состоит в определении скорости сходимости в ц.п.т. для случайных полей со слабой зависимостью. Для ее решения представляют интерес методы установления ц.п.т. для зависимых случайных величин, из которых отметим следующие
 Метод С.Н. Бернштейна. Основной метод установления предельных теорем для случая зависимых величин, см.[2]. Он использован в [5], [28], [48].
 Метод моментов. Показывается, что все моменты нормированных частных сумм значений поля стремятся к моментам нормального распределения. Отсюда делается вывод о том, что предельное распределение нормально (см. обращение второй предельной теоремы [38] в §4. 30). Он использован в [32-34].
 Метод основанный на аппарате моментов и семиинвариантов. Показывается, что семиинварианты нормированных сумм значений поля по расширяющимся областям стремятся к нулю и из этого делается вывод нормальности предельного распределения. Он использован в [6]. См. также [31], [35], [85].
 Метод М.И. Гордина приближения случайного процесса подходящие подобранным мартингалом, см. [15]. Использован для установления ц.п.т. для случайных последовательностей со слабой зависимостью, см. соответствующие ссылки в [78].
Исследование предельных закономерностей для сумм зависимых мультиплексированных случайных величин является целью данной дипломной работы.











Основная часть
Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для случайных полей, удовлетворяющих условиями перемешивания изучалась А.В. Булинским [6], и для случайных полей, удовлетворяющих условию m-зависимости, Б. Ряуба [38]. Различные условия применимости центральной предельной теоремы к случайным полям со слабой зависимостью можно найти в [7], [4], [22].
В данной работе определяется новое условие слабой зависимости, при котором предельные теоремы для независимых случайных величин сохраняют скорость сходимости и для слабозависимых случайных величин. Из условия слабой зависимости, получим условие плавного перемешивания.
Пусть ?(t), t?Z^n-двумерное дискретное случайное поле на целочисленной решетке Z^n.
     Возьмем следующую меру зависимости между ?-алгебрами. Для ?-алгебр ?F ?_1, ?F ?_2 положим ?(W _1, ?W ?_2 )=sup|(P(A?B)-P(A)P(B))/P(A)P(B) |, где верхняя грань берется по всем A??W ?_1, ?B?W ?_2 c P(A)P(B)?0
     Будем говорить, что случайное поле x(t) удовлетворяет условию плавного перемешивания, если для любых двух ?-алгебр ?W ?_U   и ?W ?_V, порождаемых, соответственно, всеми ?(t), когда t?U?Z^m, и всеми ?(t), когда t?V?Z^m, 
     ?(?W ?_U, ?W ?_V )??(?(U,V)),
Причем ?(?)?0 при ??? 
где ?(U,V)-евклидово расстояние между множествами U и V. 
     Пусть случайные величины x(t) заданы на пространствах элементарных событий ?_t=[0,1].
Будем считать, что случайное поле ?(t) удовлетворяет условию плавного перемешивания вида:
 ?(?W ?_U, ?W ?_V )??(d),
?(d)=b ?(d)/d^(3n/2) ,
где b>0-неизвестная константа.
 Существует ?_1>0 такое, что для любых 
B_1??W ?_(t_1 ), …, B_l??W ?_(t_l );A_1??W ?_(r_1 ), …, A_s??W ?_(r_s )  
с вероятностями 
P(B_i )??_1, i=(1,l) ?;P(A_i )??_1, i=(1,s) ?
|P(B_1…B_l A_1…A_s )/(P(B_1…B_l )P?(A?_1…A_s))-1|?C ?(d)/(l+s)^(1/2) ,
где d-евклидово расстояние между множествами {t_1,…,t_l} и {r_1,…,r_s}.
 Пусть G-выпуклая область R^m. Множество целочисленных точек G назовем выпуклым множеством решетки Z^m и  обозначим той же буквой G.
   Под наибольшим диаметром G мы будем понимать отрезок, соединяющий граничные точки G, наибольшей возможной длины.
   Диаметром G мы назовем любой отрезок, соединяющий граничные точки G и проходящий через центр O, середину наибольшего диаметра.
    Пусть диаметры G имеют один и тот же порядок. То есть, если d_max-длина наибольшего диаметра, d-длина произвольного диаметра, то существует абсолютная константа c_1 такая, что c_1  d_max?d.
  Будем обозначать через |G| число элементов множества   G?Z^m. 
Пусть q_G [?(t)] ={?_(i=1)^n??(t) , t?G} и G-выпуклое множество из Z^m с диаметром одного порядка. И пусть функция распределения  q_G [?(t)] имеет предел при |G|??:
P(q_G [?(t)]3/2 n, где b>0-известная константа.
??_(k=0)^((2^n-1) 2^nl)?(2^l )^?k/k!?1/|G|^(k/2) ??_(k=0)^((2^n-1) 2^nl)?1/k!?1/??(|G|?^(1/2-?))?^k =1+1/??(|G|?^(1/2-?))?^k +
+?_(k=2)^((2^n-1) 2^nl)?1/k!?1/??(|G|?^(1/2-?))?^k ?1+1/|G|^(1/2-?) +1/2?1/??(|G|?^(1/2-?))?^2 ?1/(1-1/|G|^(1/2-?) )?
?1+2 1/|G|^(1/2-?) .
Пользуясь полученным
((1+?_(2^l ) )^((2^n-1) ) )^(2^nl )?1+2?1/|G|^(1/2-?) ,
имеем 
|?-1|??_(l=0)^(h+1)??(1+2/|G|^(1/2-?) )-1?=?_(k=0)^(h+2)?C_(h+2)^k  (2/|G|^(1/2-?) )^k-1=
=?_(k=1)^(h+2)?C_(h+2)^k  (2/|G|^(1/2-?) )^k??_(k=1)^(h+2)?(h+2)^k/k!?2^k/??(|G|?^(1/2-?))?^k ?
?2?_(k=1)^(h+2)?(h+2)^k/(|G|^(1/2-?) )^k ?22?(h+2)/|G|^(1/2-?) ?1/((1-(h+2)/|G|^(1/2-?) ) )?3?(h+2)/|G|^(1/2-?) 
но h:    2^h?d_max<2^(h+1),  d_max=C_4 |G|^(1/n)
в силу наших предположений о выпуклости множества G, и следовательно, 
h?log_2??d_max