- Дипломы
- Курсовые
- Рефераты
- Отчеты по практике
- Диссертации
Отношение порядка на множестве действительных чисел и рассмотреть следующие аксиомы системы действительных чисел
Внимание: Акция! Курсовая работа, Реферат или Отчет по практике за 10 рублей!
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.
Код работы: | W013493 |
Тема: | Отношение порядка на множестве действительных чисел и рассмотреть следующие аксиомы системы действительных чисел |
Содержание
Глава 1. Отношение порядка и система действительных чисел В данной главе вводится ключевые понятия математики, такие как множество, отображение. С помощью ключевых понятий мы и можем задать отношение порядка на множестве действительных чисел и рассмотреть следующие аксиомы системы действительных чисел, такие как: аксиомы порядка, аксиома полноты и следствия этих аксиом. 1.1. Основные понятия В этом пункте введем ключевые понятия, такие как множество и отображение. Рассмотрим одно ключевое понятие математики – это понятие множества. Оно является аксиоматическим понятием, то есть оно исходно и его нельзя свести к другим понятиям. Бертран Рассел (британский философ, математик) определил множество как: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Другими словами, множество – это набор объектов, определённый некоторым правилом (свойством). Теперь сформулируем определение множества, которым и будем пользоваться. Определение 1. Пусть x – объект, P – правило (свойство), P(х) – означает, что x имеет свойство P. Тогда - означает набор объектов, удовлетворяющих свойству P. Этот набор и есть множество. В дальнейшем в диссертации будут использоваться синонимичные понятия множества, такие как: класс, совокупность, набор, семейство. Перед формулировкой функции определим, что X и Y это произвольные множества. Определение 2. Функция имеет место, если она определенна на X со значениями в Y, и по некоторому закону f ставит в соответствие элемент . Обозначается функция: , . Для функции используются синонимы: отображение, преобразование, морфизм, функционал, оператор. Синоним отображение мы и будем употреблять в диссертации. Функцию f можно задать как отношение R. Такое отношение называется функциональным. 1.2. Отношение порядка В этом пункте вводится отношение порядка и аксиомы порядка. Через аксиомы порядка мы можем задать отношение порядка на множестве вещественных чисел. Отношение порядка мы позже будем использовать для определения упорядоченных структур. Определение 3. Отношение частичного порядка «» это отношение R, обозначается , и говорят, что «b следует за а», для которой выполняются свойства: ,1) - рефлексивность ; 2) - транзитивность ; 3) - антисимметричность . На множестве вещественных чисел отношение «» отмечается как «» и называется отношением неравенства. Свойства 1), 2), 3) На являются аксиомами порядка системы вещественных чисел. Аксиомы порядка системы вещественных чисел: Для любых двух элементов зададим отношение неравенства «», при этом должны выполняться следующие аксиомы: 1) - рефлексивность ; 2) - антисимметричность ; 3) - транзитивность ; 4) выполняется либо , либо - линейность . Рассматривая аксиомы порядка, мы видим, что выполнение аксиом 1), 2), 3) задает отношение частичного порядка на , т.е. множество является частично упорядоченным. Если еще выполняется аксиома 4), то задается отношение порядка, т.е. множество – линейно упорядоченно. Отметим следующие замечания к аксиомам порядка. 1. Отношение неравенства , произносится «х меньше или равно у», также можно записать в виде «у больше или равно x» (т.е. здесь имеет место принцип двойственности). 2. Отношение неравенства , при записывают в виде , и произносится «х меньше у», или в виде «у больше х» и называют строгим неравенством. Связь сложения и аксиом порядка в . Связь умножения и аксиом порядка в . Аксиома полноты (непрерывности) Для непустых подмножеств X и Y множества , в которых выполнено условие , существует такое , что . Выполнение данных аксиом на любом множестве позволяет считать это множество моделью системы вещественных (действительных) чисел. Следствие. Выполнение аксиомы полноты (непрерывности) позволяет нам сказать, что множество - непрерывно. 1.3. Следствия из аксиом системы вещественных чисел В этом пункте будем рассматриваться следствия аксиом порядка и связей аксиом порядка со сложением и умножением. Из аксиом порядка мы имеем следующие следствия. 1. Для существует только один вариант отношения: ,, 2. , . Докажем второе утверждение. По аксиоме транзитивности мы имеем: . Теперь проверим, что . Возьмем от противного: . В силу антисимметричности имеем – противоречие. Тогда и утверждение доказано. Из связей аксиом порядка со сложением и умножением мы имеем следующие следствия. 1. , , , . 2. Если , то , , , , . 3. Пусть - противоречит Условию . 4. и . Проверим первое утверждение. Прежде всего, . Предположив, что получим - противоречие. Числа, которые больше нуля, называются положительными, а числа меньше нуля — отрицательными. 1.4. Связь аксиомы полноты с границами числового множества. В этом пункте используя аксиому полноты можно вывести понятия: наименьшего (наибольшего), минимального (максимального) элемента, понятия ограничения сверху и снизу, верхней и нижней грани, индуктивного множества. X –подмножество множества вещественных чисел. Определение 4. Существует элемент такой, что выполняется неравенство (или ). Тогда мы будем говорить, что элемент a наименьший (или наибольший) элемент X. Следствие. В случае строгого порядка «<» («>») элемент a называется минимальным (максимальным). , . Определение 5. Если существует число такое, что (или ),, то множество называют имеющим ограничение сверху (или снизу). Следствие. Элемент , в этом случае, мы будем называть верхней (или нижней) границей множества X, или – мажорантой (или минорантой) множества X. Определение 6. Наименьший (наибольший) элемент среди всех совокупностей всех верхних (нижних) границ называется точной верхней (нижней) границей множества X - (). , . Лемма (принцип верхней (нижней) границы). Любое непустое множество , имеющее ограничение сверху (снизу), имеет и притом единственную верхнюю (нижнюю) границу. Замечание. Перечисленные понятия являются двойственными друг к другу. Например, минимальный элемент двойствен максимальному элементу. Также верно и обратное. Определение 8. Множество называют вполне упорядоченным, если оно линейно упорядоченное множество и каждое его непустое подмножество имеет, хотя бы один наименьший элемент. Определение 9. Множество индуктивно, если каждое число и последующее за ним числом . Пересечение любого семейства индуктивных множеств является индуктивным множеством. Определение 10. Определим некоторое непустое наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Это множество называется множеством натуральных чисел . Теперь, используя предшествующие определения и понятия, мы можем сформулировать следующую теорему и лемму. Теорема Цермело. В любом не пустом множестве можно задать порядок, который вполне упорядочивает это множество. Лемма Цорна. В не пустом индуктивно упорядоченном множестве A существует хотя бы один максимальный элемент. В завершении рассмотрим еще десять следствий. 1. Если и A – ограничено сверху, то имеет место максимальный элемент A. 2. - не ограничено сверху. 3. и A – ограничено сверху, то имеет место максимальный элемент A. 4. и A – ограничено снизу, то имеет место минимальный элемент A. 5. . - не является ограниченным ни сверху, ни снизу. 6. (принцип Архимеда). Для существует фиксированное некоторое число и только одно единственное число такое, что . 7. . 8. Для выполнено, что . 9. Для будет иметь место . 10. Для . Заключение к первой главе. Аксиоматический подход к построению множеств позволяет нам задать множество вещественных чисел , и его подмножеств: . Здесь выведение таких определений, к примеру, таких как понятия верхней (нижней) грани, наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элемента широко используется в математическом и функциональном анализе для задания новых определений, теорем и следствий из них. Также из аксиоматики вещественных чисел можно вывести понятия о группе, кольце, поле и других алгебраических структурах. Подробнее об алгебраических структурах рассказывается в следующей главе. Глава 2. Упорядоченные алгебраические структуры В данной главе вводится структура порядка на полях и рассматривается ряд примеров упорядоченных полей, в том числе вещественно-замкнутых полей, частным случаем которых является поле вещественных (действительных) чисел . Перед рассмотрением структуры порядка на полях мы вводим основные понятия упорядоченных алгебраических структур. В диссертации предполагается, что все рассматриваемые поля имеют не менее двух различных элементов и, в частности, единичный элемент не равен нулевому элементу: . 2.1. Основные понятия упорядоченных алгебраических структур В этом пункте введем понятие об алгебраической операции и алгебраической структуре. Опираясь на это базовые понятия, мы можем задать основные определения упорядоченных структур, а именно; частично упорядоченная и упорядоченная группа, частично упорядоченное и упорядоченное кольцо, упорядоченное и архимедово упорядоченное поле. Определение 1. Отображение , заданное на произвольном непустом множестве A, которое ставит упорядоченной паре (a,b) элементов по некоторому правилу в соответствие третий элемент c мы и будем называть алгебраической операцией. этого же множества A. Алгебраическую операцию иначе еще называют бинарной операцией. Определение 2. Произвольное множество A, на котором задается набор алгебраических операций и отношений и он удовлетворяет некоторой системе аксиом, мы и будем называть алгебраическую структуру или алгебру. Понятия: группа, кольцо, поле - являются алгебраическими структурами или алгебрами, с заданными на них операциями и отношениями. С помощью аксиом и их следствий из первой главы мы можем задать следующие определения. Определение 3. Группа – непустое множество А, которое замкнуто относительно заданной на нем алгебраической операцией , где выполняются следующие аксиомы, f – отметим как «*»: 1. ассоциативность: ; 2. имеется единичный и единственный элемент 1, такой, что: ; 3. имеется обратный и единственный элемент , такой, что: . Определение 4. Кольцо – это множество R, на котором заданы две алгебраические операции: «+» и «» (сложение и умножение), со следующими аксиомами, где : 1. Относительно сложения R: абелева группа; 2. Существование нулевого и единственного элемента 0 относительно сложения: ; 3. Существование противоположного элемента –a относительно сложения, такой, что: ; 4. Ассоциативность умножения: ; 5. Дистрибутивность умножения относительно сложения: . Определение 5. Частично упорядоченная группа – группа G, на которой задано отношение частичного порядка , . Определение 6. Упорядоченная группа – частично упорядоченная группа G, для которой выполняется линейность: все элементы G сравнимы между собой, т.е. либо , либо , для . Определение 7. Частично упорядоченное кольцо – кольцо R (не всегда ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в котором из неравенств вытекают неравенства . Определение 8 Упорядоченное кольцо – частично упорядоченное кольцо R, для которого выполняется линейность: все элементы R сравнимы между собой, то есть либо , либо , для . Целостное кольцо – коммутативное кольцо с . Поле называется полем частных над целостным кольцом R, если целостное кольцо R создает мультипликативную систему. Пример. Поле рациональных чисел - это поле частных над кольцом целых чисел . Согласно определениям 4,5,6 первой главы понятия наименьшего (наибольшего) и минимального (максимального) элемента, верхней (нижней) и точной верхней (нижней) границы можно задать и на произвольном множестве X. , , , . Определение 9. Упорядоченное множество X, в котором любые 2 элемента имеют точные нижнюю и верхнюю границы, мы будем называть решеткой L. Зададим бинарные операции сложения и умножения в виде формул: и . 1) , (коммутативность операций); 2) , (ассоциативность); 3) , (идемпотентность); 4) , (законы поглощения). Определение 10. Полной решеткой будем называть упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю границы. Любая полная решетка L является решеткой с и . 2.2. Упорядоченные поля В этом пункте введем упорядочение поля и некоторые вспомогательные понятия и отношения, докажем ряд свойств введенных понятий и отношений. Определение 11. Разбиение множества A – это семейство множеств, такое, что : 1) ; 2) для ; 3) . Множества называются классами данного разбиения. Определение 12. Упорядочением поля A называется произвольное подмножество , удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) для выполняется только одно из следующих трех условий: либо , либо , либо . В частности, , причем ; 2) сумма и произведение двух произвольных элементов также принадлежит P: . В этом случае пара (A,P) называется упорядоченным полем, при этом P называется множеством положительных элементов упорядоченного поля A. Предложение 1. (A,P) - упорядоченное поле. Элемент положителен, если ; если элемент , то он отрицателен. Для элемента а существует противоположный элемент –а, если выполняется . Для элемента а существует обратный элемент , если выполняется Получим ряд следствий из определения упорядоченного поля. 1. Если (A,P) – упорядоченное поле, то P является разбиением поля A 2. Единичный элемент 1 произвольного упорядоченного поля –положителен. Доказательство. Так как , то в силу аксиомы 1), либо 1, либо –1 содержится в P и, следовательно, по аксиоме 2). Определение 13. Будем говорить, что характеристика поля A равна 0, если сумма любого числа единиц 1+1+…+1 отлична от нулевого элемента, в противном случае говорят, что поле имеет конечную характеристику. Нетрудно показать, что в этом случае найдется простое число p такое, что сумма p единиц 1+1+…+1 = 0. 3.Любое упорядоченное поле имеет характеристику 0. Доказательство. Так как и 1P, то , откуда и следует наше утверждение. Следствие. Любое поле конечной характеристики – не упорядочено. Аналогично следствию 2 доказывается следующее утверждение. 4. Квадрат любого ненулевого элемента - положителен. Доказательство. По условию , рассмотрим случай, когда , то . Во втором случае, когда , т.е. имеем . Следствие. Сумма квадратов ненулевых элементов - положительна. 5. Противоположный к положительному элементу – отрицателен. Доказательство. Рассмотрим неравенство: , тогда . 6. Обратный к положительному элементу – положителен. Доказательство. Пусть aP. В частности, и значит существует его обратный . Так как, 1, aP, то утверждение следует из равенства . В дальнейшем, обратный к ненулевому элементу a0 поля мы будем также записывать как 1/a. Определение 14. Архимедово упорядоченное поле – упорядоченное поле , в котором для любых положительных элементов а и b поля существует такое натуральное число n, что . Определение 15. Пусть . Положим и будем говорить, что элемент a (строго) меньше элемента b. В частности, элемент a отрицателен: , а элемент обратный. В этих случаях и , в силу следствий 5 и 6 получим ряд соотношения для неравенств: 1) , Доказательство. По условию и , следовательно, . 2) , Доказательство. По условию и , следовательно, . 3) . Доказательство. По условию , , и, следовательно, . Замечание. и . Сумма квадратов , так как , и . Предложение 2. Произведение сумм квадратов упорядоченного поля A является суммой квадратов. Доказательство. Пусть a,b – суммы квадратов и пусть: , тогда получим что и требовалось доказать. Следствие. Если - суммы квадратов и , то - сумма квадратов. Т.к. . Определение 16. Пусть F произвольное подполе упорядоченного поля (A,P) и P – упорядочение поля А. Тогда пара определяет упорядочение на подполе F, которое мы будем называть индуцированным упорядочением. Следствие. Пусть дано произвольное упорядоченное целостное кольцо R с . Тогда ее поле частных также будет упорядочено. Пример. Кольцо многочленов над полем действительных чисел является упорядоченным. Многочлен положителен, если . Определение 17. Пусть R упорядоченное кольцо. Элемент - будем называть бесконечно большим по отношению к R. Другими словами, в упорядоченном поле можно сделать вывод о существовании больших и малых элементов, являющихся бесконечными. Бесконечно большие и малые элементы помогают различить поле от подполя поля действительных чисел. Определение 18. Зададим понятие абсолютной величины элемента x. Из упорядоченного кольца R: . Рассмотрим ряд следствий из определения 17. Пусть - элемент бесконечный над полем F. , и подполе F – индуцировано упорядочено, тогда: 1. – большой элемент, который бесконечен. 2. – малый элемент, который бесконечен. 3. - большой элемент, в том случае, если - малый, и оба элемента бесконечны. 4. . Тогда, если в поле A нет бесконечно больших элементов, то оно архимедово над подполем F. 5. Пусть имеется цепочка: . Поле - максимальное архимедово поле. Из выходит, что это подполе F является максимальным и притом единственным архимедовым подполем, если оно максимально архимедово поле над собой в A. Пусть F подполе поля A и - множество элементов из , которые не бесконечно большие над подполем F. Сформулируем предложение 3: Предложение 3. Кольцо нормирования – это кольцо , включающие в себя F, где или , или . - идеал из набора элементов , которые бесконечно малые над подполем F. Сформулируем предложение 4: Предложение 4. - единственный максимальный идеал в кольце , при этом и имеется обратный элемент . Теперь мы сформулировать понятие об упорядоченном расширении: Предложение 5. – это кольцо нормирования, которое определенно упорядочением расширения . Предложение 6. Расширение - является вещественным полем, если , (A,P) – упорядоченное поле, - максимальный идеал, –кольцо нормирования, определенное упорядочением расширения . Доказательство. Докажем от противного. Если предложение 6 неверно, то имеет место равенство: , что есть противоречие, так как и a - бесконечно малый элемент. 2.3. Вещественные поля В этом пункте рассмотрим вещественное поле и некоторые вспомогательные понятия и отношения, докажем ряд свойств введенных понятий и отношений на вещественном поле. Вещественное поле – это поле A, где –1 не является суммой квадратов в поле A. Определение 19. Вещественно поле A, которое с его любым вещественным алгебраическим расширением совпадает с A, мы будем называть вещественно замкнутым полем A. Следствие. Поле A является максимальным по отношению к свойству вещественности алгебраического замыкания. Предложение 7. Если поле A – вещественное поле, тогда мы имеем два утверждения: 1) Если , тогда либо , либо – вещественное поле. Поле является вещественным, если a есть сумма квадратов в A. Поле - не вещественное, если –a есть сумма квадратов в A. 2) Поле вещественное, если f – неприводимый многочлен нечетной степени n из и – корень f многочлена. Доказательство. Докажем первое утверждение. Рассмотрим два случая. Элемент . Первый случай: а – квадрат в A, тогда поле вещественно по определению. Второй случай: а – не квадрат в A. Тогда, если поле не вещественно, то, следовательно, будут существовать элементы , при этом получим: . Элементы 1, - линейно независимы над полем A, следовательно, получим следующее равенство: . В случае, когда a сумма квадратов, мы получаем противоречие к условию: а – не квадрат. В случае: имеет место частная сумма квадратов и, следовательно, –а сумма квадратов. Тогда имеем, что вещественно, что есть доказательство первого утверждения. Докажем второе утверждение. Сделаем предположение, что поле не вещественно, тогда получим: . В этом равенстве многочлены обладают степенями . Тогда из можно вывести существующий многочлен h, такой что: . В правой части равенства сумма будет иметь четную степень c, такую что: . Так как неприводимый многочлен f стоит в нечетной степени n, тогда многочлен h стоит в нечетной степени . Пусть – корень h, тогда мы получим, что –1 сумма квадратов в . В силу того, что , доказательство завершим по индукции. Определение 20. Поле A – вещественное. Вещественно замкнутое поле L, алгебраическое над A – называется вещественным замыканием поля A. Теорема 1. Для любого вещественного поля A имеет место вещественное замыкание. Для вещественного замкнутого поля R существует одно единственное упорядочение: положительные элементы есть суммы квадратов. Любой положительный элемент этого поля являются квадратом, и любой многочлен, обладающий нечетной степенью из , имеет корень в R. Тогда будет иметь место равенство . Доказательство. Поле A имеет некоторое вещественное замыкание. R – вещественно замкнутое поле и P – множество положительных элементов, состоящее из сумм квадратов. Тогда для каждого можно будет сказать, что либо , либо по предложению 7, и, следовательно, P будет замкнуто относительно сложения и умножения. Так как P – множество положительных элементов – оно определяет упорядочение. В заключении по предложению 7 любой многочлен нечетной степени над R имеет корень в R. Следствие. Если элемент не сумма квадратов и поле A – вещественное, тогда будет существовать такое упорядочение поля A, где элемент a будет отрицательным. Доказательство. Из предложения 7 следует, что поле вещественно и будет иметь упорядочение как подполе своего вещественного замыкания. Предложение 8. Поле R - вещественно замкнуто, если R вещественно и , такое что . Теорема 2. Существует элемент , такой, что для элементов , и , если R – вещественно замкнутое поле и многочлен , при этом и . Доказательство. В алгебраически замкнутом поле происходит разложение неприводимого многочлена f над R в произведение неприводимых множителей со степенями 1 и 2. Неприводимый многочлен представляется суммой квадратов: . Тогда из суммы квадратов, такой что , выходит, что значение знака f зависит от знака некоторого линейного множителя, с корнем который лежит между a и b. Лемма. Имеется упорядоченное поле M, N - подполе M и существует элемент - алгебраический над N, такой, что он корень многочлена с коэффициентами в N: . И тогда мы получим: . Доказательство. Рассмотрим два случая. Первый случай: при лемма очевидна. Второй случай: при следует выразить через члены меньшей степени. После чего разделим на и полученное после деления и будет доказательством леммы. Следствие. Алгебраический элемент над упорядоченным полем, не является бесконечно большим относительно этого поля. Заключение ко второй главе. В этой главе мы рассмотрели структуру порядка на полях в ряде примеров упорядоченных полей, в том числе вещественно-замкнутых полей, частным случаем которых является поле вещественных (действительных) чисел . В следующей главе будет рассмотрена применение упорядочения в линейной алгебре Глава 3. Положительные операторы и полярное разложение в линейной алгебре В данной главе вводится понятие положительного оператора, полярного разложения и вспомогательных к ним понятий, рассматриваются и некоторые примеры положительных операторов. 3.1. Эрмитовы формы В этом пункте вводится вспомогательные понятия эрмитовых форм. Для формулировки определения 1, пусть V – комплексное векторное пространство. Определение 1. Отображение называется полуторалинейной формой на V, если выполняются условия: 1) , 2) , , где - сопряженные к соотвественно. Предложение 1. Эрмитовой формой называется полуторалинейная форма , если . Имеет место квадратичная эрмитова форма , такая что: . Предложение 2. Положительно определённая эрмитова форма f – это квадратичная эрмитова форма, в которой и . Для формулировки определения 2, пусть V – конечномерное комплексное векторное пространство. Определение 2. Эрмитовым пространством называется пространство V, с положительно определённой эрмитовой формой . Комплексное число называется скалярным произведением векторов. Предложение 3. Эрмитовым оператором называется линейный оператор А, если . Оператор сопряжен к А. Предложение 4. Унитарным оператором называется линейный оператор A на векторном пространстве со скалярным произведением (если пространство евклидово – ортогональным), если . Введем вспомогательное понятие ортогонального и ортонормированного базиса. Определение 3. V - евклидово векторное пространство. 1) Базис - ортогональный базис V, если при , где . 2) Базис - ортонормированный базис V, если при , где . 3.2. Положительные операторы. В этом пункте вводится понятие положительного оператора и связанные с ним понятия. V - эрмитово пространство. Имеет место квадратичная форма для любого эрмитова оператора А заданного на V. Определение 4. Положительно определённым оператором мы будем называть - произвольный эрмитов оператор А, такой что для любого вектора . Дальше положительно определённый оператор будем называть положительным оператором. Рассмотрим матрицу M в диагональном виде для положительно определённого оператора A: , где значения положительны. Интерпретировав матрицу M как матрицу эрмитова оператора А относительно ортонормированного базиса V, мы можем сказать, что условие дает что . Предложение 4. Имеет место положительно полуопределённый оператор А (), когда и для каких-либо индексов i . Предложение 5. Квадрат положительного оператора B можно записать в виде другого положительного оператора А, т.е. , при этом корень единственен. Доказательство. Приведем матрицу M оператора A к диагональному виду и предположим, что . Оператор В с его матрицей N в данном ортонормированном базисе будет положителен. Таким образом, сохранится соотношение , и позволить сказать, что . Предложение 6. Если С – некоторый невырожденный линейный оператор на пространстве со скалярным произведением, то произведение - невырожденный положительный оператор. Следствие. Утверждение предложения 6 имеет отношение и к произведению . Теорема 1. V - пространство со скалярным произведением . Тогда будут эквивалентны свойства линейных операторов на V: 1) ; 2) ; 3) . 3.3. Полярное разложение и примеры В этом пункте рассматривается полярное разложение и решаются некоторые примеры. Запись комплексного числа в тригонометрической форме: . Для теоремы 2: V - эрмитово векторное пространство. Теорема 2. Полярное разложение оператора A – это произвольный невырожденный линейный оператор А на V можно представить как, и притом в единственном виде: , где P – положительный оператор, a Q и – унитарный оператор. Доказательство. По предложениям 5 и 6 мы имеем , где P – положительный оператор, причем он единственный корень из квадрата: . Представим как . Подтвердим, что Q - унитарный. Из и , тогда . Из будем иметь . Из этого получим: (корень только один) и, тогда , другими словами, полярное разложение только одно. Следствие. , тогда , где Q – унитарный оператор, – положительный линейный оператор. Рассмотрим и решим несколько примеров. Примеры 1. Доказать, что если А,В – положительные линейные операторы и , то АВ – тоже положительный оператор. Решение. , тогда если А и В эрмитовы, то следует, что произведение тоже эрмитово. является многочленом от А, а – многочленом от В. Поэтому . Следовательно, , также , получим , тогда в итоге . 2. Доказать, что если то – симметричная неположительная матрица. В частности, отличные от нуля собственные значения кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми. Решение. , поэтому, интерпретируя M как линейный оператор на векторном пространстве со скалярным произведением, то получим . Дальше, . 3. Пусть А и В – эрмитовы операторы , из которых А, положительный. Доказать, что тогда Spec(АВ) вещественный. Решение. Рассмотрим две квадратичные формы , , связанные с А и В. Форма , тогда можно одновременно привести к каноническому виду. Если и – матрицы операторов А,В с ортонормированном базисом, тогда , так как . Глава 4. Ориентации В этой главе рассказывается об ориентации евклидовых пространств и гладких многообразий. Мы будем вводить понятия ориентации на n-мерных пространствах и рассматривать ряд примеров ориентаций в n-мерном евклидовом пространстве и n-мерных гладких многообразиях. 4.1. Понятие ориентации. В этом пункте введем понятие ориентации пространства при помощи упорядоченной тройки векторов и правила правой руки. Теорема 1. Произвольная тройка векторов является компланарной, только в одном единственном случае, когда определитель третьего порядка этой тройки векторов равен 0. Данную теорему называют условием компланарности трех векторов. Правило правой руки. Существует произвольная упорядоченная тройка векторов, которая некомпланарна. Сопоставим трем пальцам руки тройку векторов по правилу: большой палец правой руки есть направление первого вектора, указательный – второго, средний – третьего. Дальше поставьте средний палец так, чтобы его направление указывало на вас. Теперь сведите большой палец к указательному пальцу. Здесь возможны два случая. Для этого представим большой палец как стрелку часов. Первый случай: палец идет к указательному, как стрелка часов, тогда наша тройка векторов является левой. Второй случай: палец идет обратно к направлению стрелки, тогда тройка векторов – правая. Как следствие, тройки из левых и правых векторов создают два класса. Эти классы как раз и задают ориентацию пространства, при этом класс из правых троек – создает положительную ориентацию, а класс из левых троек – создает отрицательную ориентацию. 4.2. Ориентация евклидовых пространств В этом пункте рассматривается ориентация в евклидовом пространстве, для этого сформулируем и докажем теорему об ориентации евклидового n-мерного подпространства. Предложение 1. Имеется n-мерное евклидово пространство . В нем существует некоторая произвольная система из упорядоченных линейно независимых векторов. Обозначим их как: . Эти вектора задают матрицу Грама и имеет место параллелепипед, натянутый на эту матрицу из векторов. Определитель этой матрицы равен квадрату объема параллелепипеда: . Существует произвольное k-мерное подпространство L, . Базисы этого подпространства: , , также введем сумму: , . Из указанных выше условий выведем равенство объемов: . Будем рассматривать определитель матрицы. Получим два результата, рассмотрим их: 1) матрицы положителен, следовательно, можно заявить, что базисы ориентированы одинаково.; 2) матрицы отрицателен, следовательно, можно заявить, что базисы ориентированы противоположно. Из ранее полученного результатов можно вывести существование непрерывной системы векторов , зависимой от некоторого параметра , , где выполняется условие , . Эта система называется базисом подпространства P. Существование этой системы напрямую зависит от ориентации векторов и . При положительной (одинаковой) ориентации эта система существует, при отрицательной (противоположной) – не существует. Теорема 2. Имеется n-мерное евклидово пространство . В нем существует две некоторые произвольные системы из упорядоченных линейно независимых векторов. Выполняется равенство: . Необходимость и достаточность равенства гласит, чтобы базисы порождали подпространство в , т.е. их ориентация одинакова, следовательно, есть равенство объемов . Доказательство. Докажем необходимость. Из необходимости следует выполнение равенства. Из , следует линейная зависимость системы: . В тоже время линейная независимость системы , выводит сумму: и . Необходимость доказана. Докажем достаточность. Базисы порождают подпространство в , их ориентация одинакова и имеет место равенство объемов . Тогда из суммы , можно вывести значения определителя: . Следовательно, можно сделать вывести равенство: . Достаточность доказана. Из теоремы можно сделать вывод, что через внешнее произведение можно определить величину объема и ориентацию подпространства, где задан этот объем. 4.3. Ориентация гладких многообразий В этом пункте рассматривается ориентация гладких многообразий, для этого сформулируем понятие n-мерного многообразия и ориентированного многообразия. Определение 1. Пусть W - некоторое произвольное множество точек. Если на этом множестве имеет место структура, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то оно является n-мерным многообразием с дифференцированием. 1) множество W является объединением из конечного числа областей ; 2) любая область имеет локальные координаты: . Карта - это координатная окрестность или область . Множество карт – это атлас {}. Произвольная не пустая пара пересечений областей - это область из локальных координат () и (). Эти координаты можно выразить через друг друга: . Указанные выше функции являются функциями перехода. Якобиан . Множество гладкости многообразия W является множеством функций перехода всех областей пересечения . Пример. Произвольное евклидово пространство является многообразием. Определение 2. В многообразии W, где якобианы для всех областей пересечения , есть ориентированное многообразие. Определение 3. Локальные координаты (х) и (у) задают положительную ориентацию в , если якобиан положителен и отрицательную, если якобиан отрицателен . Следствие. Локальные координаты (х), (у) задают две ориентации на евклидовом пространстве . Имеют место многообразия: , Определение 4. Класс гладкости k явл....................... |
Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"
Узнать цену | Каталог работ |
Похожие работы: