Главная / Образцы дипломных работ

Компьютерное моделирование и автомодельные решения уравнения кортевега-де фриза

Внимание: Акция! Курсовая работа, Реферат или Отчет по практике за 10 рублей!
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.

Код работы:	W012370
Тема:	Компьютерное моделирование и автомодельные решения уравнения кортевега-де фриза

Содержание

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РГУ НЕФТИ И ГАЗА (НИУ) ИМЕНИ И.М. ГУБКИНА

Факультет Автоматики и вычислительной техники

Кафедра Автоматизированные системы управления

Направление 09.03.01 «ИиВТ»

Оценка «К защите»
________________ Заведующий кафедрой
_______(д.т.н., проф. Л.И. Григорьев)
«____»____________20__ г. «____»_____________20__ г.
__________________
(подпись секретаря ГЭК)

ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ
на тему Компьютерное моделирование и автомодельные решения

уравнения Кортевега-де Фриза

_______________________________________________________________

Пояснительная записка

Руководитель проекта

профессор, д.т.н. Григорьев Л.И.

(должность, степень, фамилия, инициалы)
__________________________________

(подпись)

Консультант по

разделу______________________________
____________________________________

(должность, степень, фамилия, инициалы, подпись)

Консультант по

разделу______________________________
____________________________________

(должность, степень, фамилия, инициалы, подпись)

Студент гр. АСМ-16-04

____________________________________МалыбаевТанирберген

(фамилия, имя, отчество)

____________________________________
( подпись )

____________________________________
( дата )

Москва 2018

Министерство образования и науки Российской Федерации

РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина

Факультет Автоматики и вычислительной техники Кафедра Автоматизированные системы управления

Направление 09.03.01 «ИиВТ» Группа АСМ-16-04

ЗАДАНИЕ

на дипломный проект

Студент Малыбаев Танирберген Сыдыкулы

(фамилия, имя, отчество)

Тема дипломного проекта:

Компьютерное моделирование и анализ уравнений Кортевега-де Фриза

__________________________________________________________________

Время выполнения проекта с 9 февраля

по

4 июня

2018 г.

Руководитель дипломного проекта

Григорьев Л.И.

(фамилия,

инициалы,

должность, степень, место работы)

профессор, д.т.н., РГУ нефти и газа им.

И.М. Губкина

____

Тема дипломного проекта и руководитель утверждены приказом № _________ от «___» ____________________ 20__ г.

Консультант по разделу ___________________________________________

(фамилия, инициалы, должность, степень, место работы)

Консультант по разделу ___________________________________________

(фамилия, инициалы, должность, степень, место работы)
Место выполнения проекта (работы)
Кафедра АСУ

Заведующий

кафедрой
д.т.н. проф. Григорьев Л. И.
«
9
» февраля
2018 г.
Задание принял к исполнению «9»

февраля
2018 г.

_________________________

(подпись студента)

1. Содержание задания по профилирующему разделу проекта
1) Ознакомление с уединенной волной;
2) Изучение нелинейные волновые уравнения;
3) Применение солитонных уравнений в физических примерах;
4) Демонстрация автомодельных решений;
5) Нахождение решений уравнений в Maple

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

2. Исходные данные к проекту ______________________________________
ГОСТ 19.001-77 «Общие положения»

ГОСТ 34.601-90. «Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы. Стадии создания»

ГОСТ Р 1.0-2012. «Численное моделирование физических процессов»
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

3. Перечень графического материала ________________________________
1) Обрушение волны вследствие нелинейности

2) Групповой солитон
3) Уединенная волна, распространяющая по каналу и ее параметры

4) Переменные, применяемые при анализе волн на мелкой воде, приводящем к уравнению Кортевега — де Фриза.
5) Модель краевой дислокации

6) Солитон уравнения Кортевега-де Фриза при различных значениях параметра V

7) Солитон уравнения Кортевега-де Фриза при различных значениях временного слоя t

4. Задание и исходные данные по разделу ____________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Подпись консультанта _____________________________

5. Задание и исходные данные по разделу
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

Подпись консультанта _____________________________

6. Рекомендуемая исходная литература

1. Филиппов А.Т. Многоликий солитон / 4-е изд. перераб. И доп. – М.:

Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 2012.- 371 с.

2. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике / Учебное пособие / Предисл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 4-е. – М.: Книжный дом

«Либриком», 2011. – 208с.

3. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики / Учебное пособие. — М.: МИФИ, 2012 г. 357 с.

Подпись руководителя дипломного проекта ___________________________

КАЛЕНДАРНЫЙ ГРАФИК РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛАМ ДИПЛОМНОГО ПРОЕКТА

№

Перечень
Срок
Отметки о

п/п

разделов работы
выполнения
выполнении

Ознакомление с уединенной волной
9.02.2018-

27.02.2018

Изучение нелинейных волновых
28.02.2018-

уравнений
30.03.2018

Применение НВЛ в физических
31.03.2018-

областях
25.04.2018

Автомодельные решения
26.04.2018-

14.04.2018

Нахождение решения уравнения sin-
15.04.2018-

Гордона в программе Maple V
2.05.2018

Нахождение решения уравнения КдФ
3.05.2018-

в программе Maple
19.05.2018

20.05.2018-

Составление пояснительной записки
27.05.2018

и презентации

Составлен «9» _____ февраля________ 2018 г.

_________________________

(Подпись руководителя)
(Подпись студента)

АННОТАЦИЯ

Малыбаев Т.С. Компьтерное моделирование и автомодельные решения Уравнений Кортевега-де Фриза, дипломная работа, 2018 – 52 страниц, 13 рисунок. Руководитель Григорьев Л.И., д.т.н., профессор. Кафедра «Автоматизированные системы управления».

Проведено предварительное исследование явления солитонов. Выполнены следующие задачи: изучение солитонов и нелинейных волновых уравнений; моделирование; показано возможность автомодельных решений; показано возможность использования программ, таких как Matlab и Maple, при нахождении решений солитонных уравнений.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Целью данной работы являются изучение явлений солитонов, моделирование, реализация автомодельных решений.

В непрерывных процессах и объектах нефтегазовой отрасли описываются уравнениями частных производных. Большое значение при математических моделях имеют так называемые волновые уравнения.

Солитоны также являются характерной особенностью явлений, имеющих место на море. В этом отношении изучение солитонов актуальны при моделировании и функционировании морских платформ. Моделирование платформ осуществляется в специальных бассейнах в которых имитируются условия реальной морской обстановки. Все платформы проходят испытания на таких полигонах. Создание моделей платформ и его конструкций проводиться на основе теории подобия и вычисления критерия подобия. В этом контексте

оказывается необходимо как моделирование солитонов, так и изучение автомодельных решений.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 8
ГЛАВА 1. СОЛИТОН. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10
1.1 Уединенная волна и ее свойства 10
1.2 Открытие уединенной волны. Основные даты в развитии теории
солитонов. 15
1.3 Нелинейные волновые уравнения 21
1.3.1 Уравнение Кортевега-де Фриза 21

1.3.2 Уравнение sin-Гордона 24

1.3.3 Нелинейное уравнение Шредингера 26

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ
ПРИМЕНЕНИЕ 28
2.1 Анализ областей применения решений нелинейных волновых уравнений
28
2.2 Автомодельные решения 45

2.3. Нахождение солитонных решений с помощью математических пакетов . 53
Результат 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
ЛИТЕРАТУРА 62

ВВЕДЕНИЕ

Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии, океанографии, оптической технике.

Во всех вышеперечисленных областях есть одна общая черта: в них или в отдельных их разделах изучаются волновые процессы, а проще говоря – волны. В наиболее общем смысле волна – это распространение возмущения какой-либо физической величины, характеризующей вещество или поле. Это распространение обычно происходит в какой-то среде – воде, воздухе, твердых телах.

Каждый человек видел, как от брошенного в воду камня, “возмутившего” спокойную поверхность воды, расходятся сферические волны. Это пример распространения “одиночного” возмущения. Очень часто возмущение представляет собой колебательный процесс в самых различных формах – качание маятника, колебания струны музыкального инструмента, сжатие и расширение кварцевой пластинки под действием переменного тока, колебания

в атомах и молекулах. Волны – распространяющиеся колебания – могут иметь различную природу: волны на воде, звуковые, электромагнитные волны. Но волнам разного происхождения присущи и некоторые общие свойства, для описания которых используют универсальный математический аппарат. А это означает, что можно изучать волновые явления, отвлекаясь от их физической природы.

Но при этом имеет место одно важное обстоятельство: такой единый подход правомерен при условии, что изучаемые волновые процессы различной природы линейны. Линейными могут быть только волны с не слишком большой амплитудой. Если же амплитуда волны велика, она становится нелинейной, и это имеет прямое отношение к солитонам.

Поскольку речь идет о волнах, из этого следует, что солитоны – тоже из области волн. Это действительно так: солитоном называют весьма необычное
8

образование – “уединенную” волну (solitary wave). Механизм ее возникновения долгое время оставался загадкой для исследователей. Ясность появилась сравнительно недавно, и сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, волоконных световодах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках и даже в живых организмах. Оказалось, что и цунами, и нервные импульсы, и дислокации в кристаллах – все это солитоны.

ГЛАВА 1. СОЛИТОН. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1.1 Уединенная волна и ее свойства

Знакомые с японским языком специалисты пояснят, что «цунами» переводится как «большая волна в гавани». Ключевое слово – волна. Однако волна – это процесс, периодический в пространстве и во времени. У «обычных» волн на воде есть много горбов и впадин.

Чтобы ответить на вопрос, как образуется цунами, приведем пример. В океане в результате землетрясения дна возникает образование в форме пологого возвышения поверхности воды (холма), максимальная высота которого в центре достигает нескольких метров, а длина составляет сотни километров. В открытом океане это образование совершенно не ощущается мореплавателями. Если это образование стремительно движется без изменения формы и достигает береговой черты, происходит цунами, которая обрушивает на побережье свою колоссальную энергию. Цитата Александра Тихоновича Филиппова по поводу, как образуется цунами: «Цунами чаще всего образуется, когда достаточно крупный, но безвредный в открытом океане солитон выбрасывается на берег. Не все цунами вызваны солитонами, но, по мнению специалистов, большинство цунами – солитонного происхождения».

Человек, знакомый с теорией линейных (гармонических) волн, скажет, что солитон – красивая гипотеза, но он не может существовать. Спектр Фурье уединенного, или, лучше сказать – локализованного образования состоит из множества волн-гармоник с разными периодами, т.е. длинами волн. Волны различной длины будут двигаться с разными скоростями (дисперсия) и «растащат» гипотетический солитон в разные стороны. Кроме того, трудно предположить отсутствие эффектов, связанных
с трением и приводящих к диссипации энергии, т.е. к исчезновению

первоначального образования. Все это правильное рассуждение, но только для линейных сред.

Рис.1 Обрушение волны вследствие нелинейности

Но у специалистов по нелинейной теории другие рассуждения про солитоны. Простейший из нелинейных эффектов состоит в том, что скорость распространения уединенной волны зависит от формы поверхности: чем большую высоту имеет участок поверхности, тем больше скорость его распространения. Значит, высокий центральный участок будет обгонять начало волны, что опять приведет к деформации первоначального профиля (укручение нелинейной волны – рис.1.1). Эти рассуждения тоже верны. И все же уединенная волна существует. Объяснить ее существование можно применив принцип: «Тот, кто нам мешает, тот нам поможет».

Солитону препятствуют дисперсия и нелинейность. Нужно обратить внимание: нелинейность заставляет центральный участок (вершину холма) догонять начало (подошву холма), а дисперсия стремится «растащить» холм, т.е. заставляет подошву холма «убегать» от вершины. В солитоне действия линейных и нелинейных эффектов уравновешиваются. Это может произойти только при некоторых определенных условиях: поверхность холма должна иметь конкретную форму и должна быть однозначно связана со скоростью распространения локализованного образования. Таким образом остается только сформулировать условия существования уединенных волн на математическом языке, т.е. построить теорию солитонов.

Математическая теория солитонов строится с помощью исследования устойчивых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных

производных. Некоторые начальные условия «проходят» через уравнения и приводят к солитонным решениям.

Рассматривая физику уединенной волны, нужно еще раз подчеркнуть

ее необычные свойства. Уединенная волна, приводящая к цунами (солитон типа «цунами»), имеет следующие характеристики: длина волны l составляет

от 10 до 500 км, а высота – не более 10 м. Средняя скорость солитона v вдали

от берега вычисляется по формуле v ? ?(gh), где g - ускорение свободного падения, а h - средняя глубина океана. При h ? 1 км v ? 100

м/с. При подходе к берегу солитон замедляет движение, становится короче и выше. Когда высота солитона сравнивается с глубиной, начинают превалировать нелинейные эффекты и происходит обрушение волны – цунами.

Работа изучает волны вдали от берегов, которые и называются солитонами. Первые два признака солитона: локализованность в пространстве и движение этого локализованного возмущения без изменения формы. Однако эти два признака не являются исчерпывающими. Так могут вести себя волны в линейной среде при отсутствии дисперсии и диссипации.
В самом деле, математически солитоном можно было бы назвать

решение волнового уравнения, имеющего в простейшем случае вид

q(x,t) = f(x – c0t) (1.1) Решения, подобные (1.1), описывают распространение

первоначального возмущения q(x,0) = f(x) со скоростью c0 без изменения его формы, т. е. являются уединенными волнами.

Рассмотрим простейшее линейное уравнение в частных производных:

???

?c
0
?

?q ? 0
(1.2)

Основной признак солитона, также отличающий его от обычных волн, проявляется в процессе, который трудно наблюдать в естественных

природных условиях – в процессе взаимодействия солитонов. Обычные 12

линейные волны распространяются независимо, и при наложении их амплитуды просто складываются (интерференция). Если встретятся две такие волны, то результат может быть различным – вплоть до полного погашения колебаний, находящихся в противофазе. Удивительное свойство солитона, являющегося волной, состоит в том, что он сохраняет свою форму после взаимодействия с себе подобным объектом: два солитона упруго отталкиваются, как две частицы! Это удивительное свойство называется дуальностью (сочетанием свойств волны и частицы).

С точки зрения физики, солитон – это локализованное возмущение нелинейной среды, имеющей дисперсионные или диссипативные свойства,

распространяющееся в пространстве без изменения формы и обладающее свойством дуальности.

Солитон типа «цунами» – далеко не единственный природный солитон. На глубокой воде (глубина больше длины волны) простая периодическая волна становится неустойчивой и распадается на группы волн. Группа состоит из нескольких горбов и впадин (волн), амплитуда которых убывает от центра к периферии, причем огибающая этой группы имеет форму уединенной волны Рассела. Такое образование тоже является солитоном. Под огибающей располагается обычно от 14 до 20 волн, причем средняя, имеющая порядковый номер от 7 до 14, самая высокая (Рис. 1.2). Поэтому такому солитону можно дать название «девятый вал».

Рис.2 Групповой солитон

«Цунами», «девятый вал», а дальше идут атмосферные вихри, тайфуны, смерчи, торнадо… Солитоны играют в жизни человека и положительную

роль. Например, солитон типа «девятый вал» осуществляет перенос информации в нервных волокнах. Его успешно применяют в оптических средствах связи. Здесь главным оказывается свойство «распространения без изменения формы».

Еще один тип солитона легко получить в уютных домашних условиях. Возьмите упругую ленту, ширина которой меньше её длины. Жестко закрепив левый край ленты, затем свободный правый край поверните на полный оборот и тоже закрепите его параллельно левому. В центре ленты образуется скрутка. Отведите ее двумя пальцами от центра ленты к краю и отпустите. Скрутка начнет быстро перемещаться обратно к центру. Это действие является движением солитона. Этот тип солитонов так и называется

– «скрутка». Если ленту повернуть на два оборота, развести два закрученных места в стороны и отпустить, то можно наблюдать взаимодействие солитонов. Отметим, что солитон типа «скрутка» может находиться в состоянии покоя, в отличие от солитонов типа «цунами» или «девятый вал».

Солитоны возникают в конкретных, физически реализуемых ситуациях, математически описываемых нелинейными уравнениями.

Отношение между реальными солитонными явлениями и решениями дифференциальных уравнений такое же, как между физическим объектом и его математической моделью. В любой реальной системе всегда происходит диссипация энергии, поэтому физически солитоны представляют собой слабо затухающие сгустки магнитной, электромагнитной, звуковой или какой-либо другой энергии. Множество природных солитонов, конечно, не изоморфно множеству солитонных уравнений, поскольку одно уравнение может описывать несколько разных явлений. Тем не менее, число солитонных уравнений достаточно велико.

Можно перечислить еще некоторые природные явления и технические устройства, где встречаются солитоны, не уточняя конкретный вид последних. Солитоны можно увидеть на водной поверхности и в атмосферах

планет. Существует гипотеза, что знаменитое красное пятно Юпитера является вихрем, имеющим солитонную природу. Предполагается, что сгусток электрической энергии, именуемый шаровой молнией – тоже солитон. Много разнообразных солитонных явлений наблюдается в плазме.

В длинных молекулярных цепях, например, в молекулах белков также встречаются солитонные образования, поэтому солитоны широко распространены в биологических системах. Солитонную природу имеют механизм передачи энергии в живых организмах и динамика мышечного сокращения.

Солитоны наблюдаются в квантовых жидкостях: в сверхпроводниках и сверхтекучих веществах. Частице подобные солитоны встречаются в А-фазе и В-фазе жидкого гелия.

Солитоны различных типов существуют и в твердых телах. Солитонами являются некоторые типы дислокаций в кристаллах. В сегнетоактивных кристаллах и в магнитоупорядоченных системах тоже возникают солитоны. Мощное лазерное излучение приводит к нелинейным эффектам при распространении световых волн, поэтому в нелинейной оптике также образуются волны-солитоны.[5]

1.2 Открытие уединенной волны. Основные даты в развитии теории солитонов.

Возможно, что уединенную волну (solitary wave) люди наблюдали неоднократно и до августа 1834 г., когда ее увидел на водной поверхности канала шотландский инженер-изобретатель, сотрудник судоходной компании Union Canal Company Джон Скотт Рассел (1808-1882). Только глубокое теоретическое знание свойств “обычных” волновых процессов исследователя-экспериментатора позволило Дж. С. Расселу отметить необычность уединенной волны.

Авторское описание этого события:

«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого

и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась,

и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала».

Более поздний комментарий исследователя:

«Это самое прекрасное и необычное явление: в

первый же день я понял, что это счастливейший момент в моей

жизни… Никто никогда и вообразить не мог, что существует такое явление, как уединенная волна. Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: “Это просто отсеченная половина обычной волны”. Но это не так, поскольку обычные волны распространяются частично выше, а частично ниже уровня поверхности и кроме того, ее скорость отличается от скорости обычных волн. Поэтому уединенная волна - полная волна, а не половина… Такой водяной холм не может стоять на месте, а распространяется вдоль канала».

Рассел оказался прав, волна, открытая им оказалась не обычной волной,

а солитоном типа «цунами», только он об этом никогда не узнал. Свойство дуальности было вновь обнаружено через 130 лет после открытия Рассела в численных экспериментах специалистов Принстонского университета

Мартина Крускала и Нормана Забуски (1965 г.). Они и предложили 16

название «солитрон» – уединенная волна («соли-»), подобная частице («-трон»). Однако букву «р» из названия пришлось убрать, поскольку слово «солитрон» оказалось товарным знаком некой фирмы. Так более сорока лет назад в науке появилось красивое и загадочное слово «солитон».

Итак, солитон – это объект, возникающий в нелинейных средах, сохраняющий свою форму при движении и при взаимодействии с себе подобными. Цитаты одного из ведущих современных специалистов по математической теории солитонов Алана Ньюэлла по этому поводу:

«Солитон представляет собой уединенный бегущий волновой импульс нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с выраженными свойствами устойчивости и поведением, подобным частице».

Основные этапы становления теории солитонов приведены в табл. 1.1. Все началось в августе 1834 г. Джон Рассел не просто наблюдал «прекрасное

и необычное явление», он тщательным образом в многочисленных экспериментах исследовал свойства уединенных волн, дал их классификацию, получил формулу, связывающую скорость распространения волны с глубиной канала и высотой волны, и опубликовал полученные результаты. В одной из своих работ Рассел даже отметил, что «большие первичные волны трансляции проходят друг через друга без каких-либо изменений», но не придал этому факту особого значения.

Известные ученые Англии того времени – королевский астроном

Джордж Биделл Эри (1801-1892) и основатель гидродинамики Джордж Габриель Стокс (1819-1903) подвергли работу Рассела критике и утверждали, что существование волны, распространяющейся без изменения формы, не подтверждается теорией волн на мелкой воде.

Научный спор был закончен уже после смерти Дж.Рассела, когда в 1895 г. голландские ученые Дидерик Иоханнес Кортевег (1848-1941) и его ученик Густав де Фриз (Vries) получили уравнение, описывающее

уединенную волну. Уравнение Кортевега?де?Фриза называют теперь КдФ-уравнением.

Таблица 1.1 Этапы развития теории солитонов

Годы
Имена
Основные результаты

ученых

XIX век

1834
Рассел Дж.
Наблюдение уединенной волны

1844
Рассел Дж.
Публикация сведений об основных свойствах

уединенных волн

1849
Стокс Дж.
Опровержение теории Рассела

Эри Дж.

1895
Кортевег Д.
Вывод волнового нелинейного уравнения,

Де Фриз Г.
описывающего «уединенную волну» Рассела

(КдФ-уравнения)

Перерыв в 70 лет

50-е годы XX века

Ферми
Э.
Формулировка проблемы ФПУ, открытие

Паст
Дж.
квазипериодических решений в конечной

Улам С.
цепочке нелинейных маятников

60-е годы XX века

1965
Крускал М.
Численный эксперимент по проблеме ФПУ,

Забуски Н.
сведение проблемы к решению уравнения КдФ в

непрерывном случае, введение понятия

«солитон»

1967
Гарднер К.
Общее решение уравнения КдФ, соотношение

Грин Дж.
ГГКМ

Крускал М.

Миура Р.

1968
Захаров В.Е.
Вывод нелинейного уравнения Шредингера для

Шабат А.Б.
групп волн с огибающей в плазме

1968
Лакс П.
Использование пар операторов для

нахождения солитонных решений

нелинейных уравнений

Миура Р.
Преобразования Миуры

Хирота Р.
Метод Хироты, - функция

Абловиц М.
Кауп Д.
Ньюэлл А.
Сегур Г.

Установление иерархии для генерирования уравнений с солитонными решениями (иерархия АКНС)

70-е годы XX века

Бум солитонной теории, формулировка метода обратной задачи рассеяния, применение алгебраических, топологических, теоретико-групповых методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих различные физические явления

80-е и 90-е годы XX века

Расширение области применения теории солитонов: плазма, теория гравитации, вихри в атмосферах планет, ударные волны в твердых телах, нелинейная оптика, молекулы и молекулярные цепи (белки), магнитоупорядоченные системы, сегнетоэлектрические системы, квантовые жидкости, сверхпроводники. Разработка теории автосолитонов.

Обобщение научных результатов, оформление учебных пособий для вузов и публикация научно-популярных работ по проблеме солитонов

К сожалению, спор был закончен во многих смыслах. Об уединенной волне забыли на 70 лет и вернулись к её изучению совсем с другой стороны
– через компьютерное моделирование.

Знаменитый физик-теоретик Энрико Ферми (1901-1954),

руководитель одного из отделов лаборатории в Лос-Аламосе, в которой

велись работы над американским атомным проектом, одним из первых

обратил внимание на перспективы использования быстродействующих

ЭВМ в научных исследованиях. В 1952 г. вместе с математиками

Станиславом Уламом и Джоном Пастой он задумал выполнить обширные

машинные эксперименты по исследованию нелинейных задач. Первой из

них была задача о нахождении механизмов термализации (перехода

к тепловому равновесию) колебаний атомов в кристалле.

Кристалл был промоделирован конечной цепочкой пружинных маятников. Если взаимодействие между соседними маятниками в цепочке линейно, то любая возбужденная собственная колебательная мода будет приводить к гармоническим колебаниям с заданной частотой, профиль отклонений маятников от положения равновесия будет периодически повторяться долгое время.

Ферми предположил, что при наличии слабого нелинейного взаимодействия между маятниками в цепочке возбудятся высшие гармоники, движение постепенно хаотизируется, периодичность исчезнет, что и объяснит процесс термализации. Но его предположения не оправдались. В первом эксперименте учитывалось 32 маятника. После возбуждения низшей (первой) моды сначала действительно начиналось перекачивание энергии в высшие гармоники. На определенных шагах моделирования появлялся профиль колебаний, в котором превалировали 3-я мода, затем 2-я, потом снова 3-я. Но спустя примерно 56 периодов первой моды эта мода снова возникала. Движение оказалось периодическим, хаотизации не происходило! Этот результат удивил Ферми и других физиков. Ему присвоили имя задача Ферми-Пасты-Улама (ФПУ). В 1965 г. американские физики М.Крускал и Н.Забуски приступили к решению задачи ФПУ. Сначала они просто повторяли машинные эксперименты, увеличивая количество маятников. Периодичность не исчезала. Тогда ученые попытались аналитически исследовать движение объекта, в который переходит цепочка ФПУ при увеличении количества маятников и при уменьшении равновесного расстояния между ними – нелинейной непрерывной струны. Неудивительно, что в качестве уравнения движения получилось нелинейное волновое уравнение. Удивительно, что получилось уравнение, которое впервые было записано 70 лет назад – уравнение Кортевега-де Фриза!

Путем численных экспериментов Забуски и Крускал выяснили, что КдФ-уравнение описывает волны, не изменяющиеся после столкновения

друг с другом, которые они и назвали солитонами. В 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре удалось найти общее решение КдФ-уравнения. От этой работы обычно отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

1.3 Нелинейные волновые уравнения

1.3.1 Уравнение Кортевега-де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза получено для волн, имеющих малую амплитуду и малую дисперсию в канале постоянной глубины, которая меньше длины волны. Для вывода уравнения, описывающего динамику поверхности воды в канале, используются следующие условия и уравнения:
- уравнение неразрывности;

- граничное условие на нормальную скорость на дне канала;

- условие непрерывности нормального напряжения (давления) на свободной поверхности;

- кинематическое граничное условие на свободной поверхности, состоящее в равенстве нормальной скорости жидкой частицы на

поверхности нормальной скорости самой поверхности.

Упомянутые выше условия представляют собой систему сложных нелинейных дифференциальных уравнений по вертикальной (y) и горизонтальной (x) координатам и по времени t для поверхности и потенциала скорости. Эти уравнения упрощаются после введения двух малых параметров:

? ? ah ??1,

? ? h2 ??1 l 2

(1.3.1)

Рис.3 Уединенная волна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры

где a – амплитуда волны, h – глубина канала, l – длина волны. Первое условие

в (2.1) физически означает малость нелинейных эффектов, связанных с малостью амплитуды колебаний, а второе условие – малость дисперсии.

Если параметр ? считать малым, но конечным, а параметр ???устремить

к нулю: ? ? 0 (пренебречь дисперсией), то получатся так называемые уравнения мелкой воды. Они не имеют солитонных решений. Именно из этих уравнений исходили Дж. Эри и Дж. Стокс, когда «опровергали» теорию Дж.

Рассела. Чтобы получить уравнение, объясняющее устойчивость уединенной волны, нужно считать ? и ? малыми параметрами, имеющими одинаковый порядок. Тогда и получится уравнение КдФ.?

Если форму поверхности для волны, распространяющейся вдоль оси Х, представить как h ??(x), то для отклонения ? при вышеназванных условиях получается нелинейное дифференциальное уравнение

3
g
???

?????

???

????

? 2
?

?
2

(

h ?x ?

Вводя безразмерные переменные u, ?, ? по формулам

? ? 8?u,? ? ( 2? )1/ 2 x,? ? ( 2? 3 g )1/ 2 t

??l

из (3.2.2) получим уравнение для u:

u? ? u?? 6uu?+u???? 0 .

(1.3.2)

(1.3.3)

Множитель 6 в нелинейном члене уравнения целиком зависит от произвола и всегда может быть изменен преобразованием u??u. Чтобы найти решение, подобное волне Расселла, нужно искать решение уравнения (2.3) типа бегущей волны с постоянным профилем. Для этого рассмотрим трансля.......................

Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"

Узнать цену

Каталог работ

Похожие работы: