Введение
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.
Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, чтобы учащийся мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, и даже почерпнуть много нового и интересного.
Цель работы: изучить особенности изложения темы «Прогрессии» в школьном курсе математики и разработать для учащихся тест по типу ЕГЭ по данной теме.
Для достижения поставленной цели требуется выполнение следующих задач:
Изучение теоретических основ выбранной темы;
Анализ школьных учебников и материалов ЕГЭ по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;
Самостоятельный отбор тестовых заданий по теме исследования;
Разработка факультатива по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Объектом исследования является процесс изучения темы «Прогрессии» в школьном курсе математики.
Предмет исследования: особенности изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Гипотеза: процесс изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» будет более успешным, если уделить особое внимание изучению этой темы на факультативных занятиях по математике.
В процессе выполнения выпускной квалификационной работы была определена её структура: ведение, теоретическая и практическая часть, заключение, список литературы.
Во введении обоснована актуальность, поставлены цели и задачи выпускной работы, перечислены методы для их решения.
В первой главе изложен весь теоретический материал по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессии». Даются определения основных понятий, рассматриваются свойства членов прогрессий, сумма первых n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Представлен анализ школьных учебников по изложению темы исследования
Во второй главе представлена практическая область исследования по теме. А именно, проведен анализ контрольно измерительных материалов ЕГЭ за последние 7 лет по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», разработан тест по типу ЕГЭ с его полным решение и представлен факультативный курс для подготовки к ЕГЭ по данной теме.
В заключении проводятся итоги проделанной работы.
Апробация факультативных занятий проводилась в период педагогической практики в МОУ «Лицей № 35 г. Челябинска» в 9 классе.
ГЛАВА 1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГРЕССИЙ
§1. Числовые последовательности и их свойства
Числовая последовательность – это функция вида y=f(x), x?N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y=f(n) или y_1, y_2,…,y_n,…. Значения y_1,y_2,y_3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y=n^2можно записать:
y_1=1^2=1
y_2=2^2=4
y_3=3^2=9
…
y_n=n^2 и т.д.
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n - го члена: y=f(n)
Пример. y_n=2n-1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….
При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего, в таких случаях, указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1.? y?_1=4, y_n=y_(n-1)+4, если n=2, 3, 4,….
Здесь y_1=3; y_2=3+4=7; y_3=7+4=11;… .
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически:? y?_n=4n-1.
Пример 2. y_1=1; y_2=1; y_n=y_(n-2)+y_(n-1), если n=3, 4,….
Здесь:y_1=1; y_2=1; y_3=1+1=2; y_4=1+2=3; y_5=2+3=5;
y_6=3+5=8.
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой:
a_n=1/?5 [((1+?5)/2)^n+((1-?5)/2)^n ]
На первый взгляд, формула для -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.
Свойства числовых последовательностей
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Последовательность {y_n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y_1y_2>y_3>…>y_n>y_(n+1)>….
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y_1=1; y_n=n^2 – возрастающая последовательность.
Пример 2. y_1=1; y_n=1/n – убывающая последовательность.
Пример 3. y_1=1; y_n=?(-1)?^(n-1)?1/n – эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n=y_(n+T) . Число T называется длиной периода.
Пример. Последовательность y_n=?(-1)?^n периодична с длиной периода T=2.
§2. Арифметическая прогрессия
Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .
Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом – число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
.
Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь, она равна 1/(n+1).
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, a_1,a_2,a_3 и т.д. (читают: “a первое, a второе, a третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначаютa_n. Саму последовательность будем обозначать так: (a_n).
Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой a_n=2n, а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, – формулой b_n=1/(n+1).
Пример 1. Пусть последовательность задана формулой y_n=n^2-3n. Вычислим первые пять её членов.
Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: y_1=-2,
Пример 2. Пусть первый член последовательности (a_n) равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е. a_1=3, a_(n+1)=a_n^2
С помощью формулы a_(n+1)=a_n^2 можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Иначе говоря, последовательность (a_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:
a_(n+1)=a_n+d, (1)
где d – некоторое число.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: a_(n+1)-a_n=d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.
Приведем примеры.
Пример 1. Если a_1=1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа.
Пример 2. Если a_1=1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.
Пример 3. Если a_1=-2 и d=-2, то заданная арифметическая прогрессия: – 2; – 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.
Пример 4. Если a_1=7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.
По определению арифметической прогрессии
Точно так же находим, что a_6=a_1+5d, a_7=a_1+6d, и вообще, чтобы найти a_n нужно к a_1 прибавить (n – 1)d, т. е.
a_n=a_1+d?(n-1). (2)
Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.
При n=1 эта формула верна: a_1=a.
Предположим, что формула (2) верна приn=k, k?1, т.е. a_k=a_1+d(k-1).
По определению арифметической прогрессии a_(k+1)=a_k+d. Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим a_(k+1)=a_1+d(k-1)+d=a+dk, а это есть формула (2) при n=k+1.
Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального n.
Что и требовалось доказать.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример 1. Последовательность (c_n ) – арифметическая прогрессия, в которой c_1=2,3 и d=0,45. Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.
Имеем: c_10=2,3+0,45?9=2,3+4,05=6,35
c_100=2,3+0,45?99=2,3+44,55=46,85.
Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии (x_n ): – 10; – 5,5; – 1; 3,5; ... .
В данной арифметической прогрессии x_n=-10 и d=x_2-x_1, d=-5,5-(-10)=4,5. Запишем формулу -го члена прогрессии:
x_n=-10+4,5(n-1), т.е. x_n=4,5n-14,5.
Число 71 является членом арифметической прогрессии (x_n ), если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n – 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n – 14,5 = 71.
Получим: 4,5n = 85,5, n=19.
Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.
Формулу -го члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d(n-1) можно записать иначе: a_n=dn+(a_1-d).
Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b – некоторые числа.
Верно и обратное: последовательность (a_n ), заданная формулой вида
a_n=kn+b , где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
Действительно, найдем разность (n+1)-го и -го членов последовательности (a_n ):
a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b-kn-b=k
Значит, при любом n справедливо равенство a_(n+1)=a_n+k, и по определению последовательность (a_n ) является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.
Свойства арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при k?2 верной является формула
a_k=(a_(k-1)+a_(k+1))/2. (3)
Действительно, при k?2 имеем a_k=a_(k-1)+d и a_k=a_(k+1)-d. Складывая почленно эти равенства, получим 2a_k=a_(k-1)+a_(k+1), откуда следует (3).
2. У конечной арифметической прогрессии a_1, a_2,…,a_n сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для k=1,2,…,n верной является формула ? a?_k+a_(n-k+1)=a_1+a_n. (4)
Действительно, в конечной арифметической прогрессии a_1, a_2,…,a_n члены a_k и a_(n-k+1) равноотстоят от концов. По формуле (2) a_k=a_1+d(k-1) и a_(n-k+1)=a_1+d(n-k). Сумма этих членов равна a_k+a_(n-k+1)=2a_1+d(n-1) и равна сумме крайних членов a_1+a_n=2a+d(n-1).
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.
Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:
2S=101?100, S=(101?100)/2=5050.
Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.
С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.
Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если S_n=a_1+a_2+…+a_(n-1)+a_n, то S_n=(a_1+a_n)/2 n. (5)
Действительно, если S_n=a_1+a_2+…+a_(n-1)+a_n, то
S_n=a_n+a_(n-1)+…+a_2+a_1.
Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем 2S_n=(a_1+a_n )+(a_2+a_(n-1) )+…+(a_1+a_n )=n(a_1+a_n), откуда следует формула (5).
Приведем примеры.
Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; ... .
В данной арифметической прогрессии a_1=1, d=3,5-1=2,5. По формуле -го члена найдем двадцатый член прогрессии:
a_20=1+2,5?19=48,5
Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:
S_20=((1+48,5)?20)/2=49,5?10=495.
Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо (a_n ) выражение a_1+d(n-1) получим: S_n=(a_1+a_1+d(n-1))n/2 т.е. S_n=(?2a?_1+d(n-1))/2 n. (6)
Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:
.
Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности (a_n ), заданной формулой a_n=5n-4.
Последовательность (a_n ) является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида a_n=kn+b, где k = 5 и b=-4.
Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии:
Теперь по формуле (5) вычислим S_30:
S_30=((1+146)?30)/2=147?15=2205.
Пример 3. Найдем сумму 1+2+3+…+n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.
Применив формулу (5) к арифметической прогрессии 1;2;3;..., получим, что 1+2+…+n=(1+n)n/2.
Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.
Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой a_n=6n. Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство 6n?250. Получим n?41 2/3.
Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41.
Имеем: a_1=6, a_41=6?41=246, S_41=((6+246)?41)/2=5166
§3. Геометрическая прогрессия
Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; 22; 23; 24; … .
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность (b_n ) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:
b_n?0 и b_(n+1)=b_n?q. (1)
где q – некоторое число. Обозначим, например, через (b_n )последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство b_(n+1)=b_n?2; здесь q=2.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство: b_(n+1)/b_n =q.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Пример 1. Если b_1=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, ... .
Пример 2. Условиями b_1=-2 и q=3 задается геометрическая прогрессия -2, -6, -13, -54, -162, ... .
Пример 3. Если b_1=4 и q=-3, то имеем прогрессию: 4, –12, 36, –103, 324, … .
Пример 4. Если b_1=8 и q=1, то получим геометрическую прогрессию 8, 8, 8, … .
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:
b_2=b_1?q,
b_3=b_2?q=(b_1?q)q=b_1?q^2,
b_4=b_3?q=(b_1?q^2 )q=b_1?q^3,
b_5=b_4?q=(b_1?q^3 )q=b_1?q^4.
Точно так же находим, что b_6=b_1?q^5 и т. д. Вообще, чтобы найти (b_n ), мы должны b_1 умножить на q^(n-1), т. е. b_n=b_1?q^(n-1). (2)
Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.
1. Формула (2), очевидно, верна при n=1.
2. Предположим, что она верна и при n=k, k?1, т.е. b_k=b_n?q^(k-1).
3. Из (1) следует b_(k+1)=b_1 q^k, то есть формула (2) верна и при n=k+1.
Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального n.
Что и требовалось доказать.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример 1. В геометрической прогрессии b_1=0,8 и q=1/2. Найдем b_10.
По формуле n -го члена геометрической прогрессии
b_10=0,8?(1/2)^(10-1)=2^3/10?1/2^9 =1/(2^6?10)=1/640.
Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии (b_(n ) ),
если b_1=162 и b_3=18.
Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как b_3=b_1?q^2 ,то q^2= b_3/b_1 =18/162=1/9 .
Решив уравнение, q^2= 1/9, найдем, что q= 1/3 или q= -1/3 .
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если q=1/3, то b_8=b_1?q^7=162?(1/3)^7= (2?3^4)/3^7 =2/27.
Если q= -1/3 , то b_8=b_1?q^7=162?(-1/3)^7=- (2?3^4)/3^7 =-2/27.
Задача имеет два решения: b_8=2/27 или b_8= -2/27 .
Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 750 мм рт. ст.
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 750??(0,8)?^6 .
Произведя вычисления, получим:
750?(0,8)^6?750?0,26?200 (мм. рт. ст.)
Свойства геометрической прогрессии.
1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при верной является формула
b_k^2=b_(k-1)?b_(k+1) (3)
Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. b_k= ?(b_(k-1)?b_(k+1) ).
Действительно, при k?2 имеем b_k= b_(k-1)?q и b_k=b_(k+1)?q^(-1). Перемножая почленно эти равенства, получим b_k^2=b_(k-1)?b_(k+1). А это и есть равенство (3).
2. У конечной геометрической прогрессии b_1, b_2, …, b_n произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.
b_k?b_(n-k+1)=b_1?b_n (4)
Действительно, в конечной геометрической прогрессии члены b_k и b_(n-k+1) равноотстоят от концов. По формуле (2) b_k=b_1?q^(k-1) и
b_(n-k+1)=b_1?q^(n-k). Произведение этих членов b_k?b_(n-k+1)= b_1^2?q^(k-1+n-k) и равно произведению крайних членов b_1?b_n=b_1^2?q^(n-1).
Значит, b_k?b_(n-k+1)=b_1?b_n. А это и есть равенство (4).
Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
S=1+2+2^2+2^3+…+ 2^62+ 2^63.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: 2S=2+ 2^2+ 2^3+…+ 2^63+ 2^64.
Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:
2S-S=(2+2^2+2^3+…+2^63+2^64 )-(1+2+2^2+2^3+…+2^62+2^63)
S=2^64-1.
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму n первых ее членов через S_n :
S_n= b_1+b_2+…+ b_(n-1)+b_n. (5)
Умножим обе части этого равенства на q:
S_n q= b_1 q+b_2 q+…+ b_(n-1) q+b_n q.
Учитывая, что b_1 q=b_2, b_2 q=b_3, …, b_(n-1) q=b_n, получим:
S_n q= b_2+b_3+…+ b_n+b_n q. (6)
Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:
S_n q-S_n=(b_1 q+b_2 q+…+b_(n-1) q+b_n q)-(b_1+b_2+…+b_(n-1)+b_n),
S_n q-S_n=b_n q=b_1,
S_n (q-1)=b_n q-b_1.
Пусть q?1 , тогда S_n=(b_n q-b_1)/(q-1) . (7)
Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой q?1. Если q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и S_n=nb_1.
Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение b_1 q^(n-1). Получим: S_n=(b_1 (q^n-1))/(q-1), если q?1. (8)
Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b_1=3 и q=1/2.
Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:
S_10=(b_1 (q^10-1))/(q-1)=3((1/2)^10-1)/(1/2-1)=3(1/1024-1)/(-1/2)=-6(1/1064-1)=6-3/512=5 509/512.
Пример 2. Найдем сумму 1+x+…+x^(n-1 ) (x?1), слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1, x, x^2, … .
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как x^(n-1) является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):
S_n=(x^(n-1)?x-1)/(x-1)=(x^n-1)/(x-1).
Таким образом, 1+x+…+x^(n-1)=(x^n-1)/(x-1).
Умножим левую и правую части последнего равенства на x-1. Получим тождеств x^n-1=(x-1)(1+x+…+x^(n-1) ).
В частности, при n=2 и n=3 приходим к известным формулам: x^2-1=(x-1)(x+1), x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).
Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии (b_n ), если известно, что b_3=12 и b_5=48.
Зная b_3 и b_5 , можно найти знаменатель прогрессии q.
Так как b_5=b_4 q=(b_3 q)q=b_3 q^2, то q^2=b_5/b_3 =48/12=4.
Значит, q=2 или q=-2.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если q=-2 , то b_1=b_3/q^2 =3 и S_6=(b_1 (q^6-1))/(q-1)=(3((-2)^6-1))/(-2-1)=-63.
Если q=2 , то b_1=3 и S_6=(b_1 (q^6-1))/(q-1)=(3(2^6-1))/(2-1)=189.
Мы знаем, что число 1/3 обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333... .
Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 +… .
Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3, 0,03, 0,003, 0,0003, … , у которой q=0,1 .
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:
S_n=(0,3((0,1)^n-1))/(0,1-1)=(?(0,1)?^n-1)/(-3)=1/3-?(0,1)?^n/3.
При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение ?(0,1)?^n становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь ?(0,1)?^n/3 неограниченно приближается к нулю.
Действительно, если n=2, то ?(0,1)?^n/3=0,01/3=1/300; если n=3, то ?(0,1)?^n/3=0,001/3=1/3000; если n=4, то ?(0,1)?^n/3=0,0001/3=1/30000; если n=5, то ?(0,1)?^n/3=0,00001/3=1/300000 и т.д.
Поэтому при неограниченном увеличении n разность 1/3-(0,1)^n/3 становится сколь угодно близкой к числу 1/3 или, как говорят, стремится к числу 1/3 .
Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3, 0,03, 0,003, 0,0003, … при неограниченном увеличении n стремится к числу 1/3. Это утверждение записывают в виде равенства 0,3+0,03+0,003+0,0003+…=1/3.
Число 1/3 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3, 0,03, 0,003, 0,0003, ... .
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию, b_1, ? b?_1 q, b_1 q^2, …, у которой |q|<1.
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии: S_n=(b_1 (q^n-1))/(q-1).
Преобразуем, выражение в правой части равенства:
(b_1 (q^n-1))/(q-1)=(b_1-b_1 q^n)/(1-q)=b_1/(1-q)-b_1/(1-q) q^n.
Значит, S_n=b_1/(1-q)-b_1/(1-q) q^n.
Можно доказать, что если |q|<1 , то при неограниченном увеличении n множитель q^n стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение b_1/(1-q) q^n. Поэтому при неограниченном увеличении п сумма S, стремится к числу b_1/(1-q).
Число b_1/(1-q) называют суммой бесконечной геометрической прогрессии (b_n) , у которой |q|<1 .
Это записывают так: b_1+b_1 q+b_1 q^2+…=b_1/(1-q).
Обозначив сумму прогрессии (b_n) буквой S, получим формулу
S=b_1/(1-q). (9)
Заметим, что если |q|?1, то сумма n первых членов геометрической прогрессии Sn при неограниченной увеличении n не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при |q|<1.
Пример 1. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии 12, –4, 4/3, ….
У этой прогрессии q=-1/3. Значит, условие |q|<1 выполняется. По формуле (9) получим: S=12/(1+1/3)=12/(4/3)=9.
Пример 2. Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдем сумму площадей всех квадратов.
Из геометрических соображений ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Таким образом, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен 1/2. Найдем сумму этой геометрической прогрессии: S=16/(1-1/2)=32.
Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.
Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
Запишем число 0,(18) в виде суммы:
0,(18)=0,18+0,0018+0,000018+….
Слагаемые в правой части равенства – члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т.е. |q|<1. Найдем сумму этой прогрессии: S=0,18/(1=0,01)=0,18/0,99=2/11.
Значит, 0,(18)=2/11.
Заметим, что аналогичным образом можно представить в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь.
§4. Анализ школьных учебников по изложению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Для более полного изучения теоритических основ темы «Прогрессии» необходим анализ учебно-методической литературы.
Нами была рассмотрена следующая школьная литература: учебник по алгебре для 9 класса Ш.А. Алимова, учебник по алгебре для 9 класса Г.В. Дорофеева и учебник профильного уровня по алгебре для 9 класса (часть 1) А.Г. Мордковича. В рассмотренных учебниках исследуемая тема представлена примерно одинаково. Изучение темы, например, начинается везде с четвёртой главы. Различия лишь в полноте изложения материала по тебе «Прогрессии».
Таблица 1.
Сравнительный анализ темы «Прогрессии» в школьном курсе математики.
Ш.А. Алимов
«Алгебра 9 класс»
Г.В. Дорофеев
«Алгебра 9 класс»
А.Г. Мордкович
«Алгебра 9 класс. Часть 1»
(проф. уровень)
1.Понятие числовой последовательности
Определение даётся на основе примера о лицевом счете в сберегательном банке.
«Пусть на счете №1 лежит вклад a_1 рублей, на счете №2 лежит вклад a_2 рублей и т.д. Получается числовая последовательность a_1, a_2, a_3,…, a_N, где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.»
Понятие числовой последовательности рассматривается на примере чисел Фибоначчи. Определение однозначно не дается.
Функцию y=f(x), x?N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=F(n) или y_1,y_2,…,y_n,…(присутствует объяснение различных способов задания числовой последовательности: аналитическое, словесное, рекуррентное, монотонная последовательность)
2.Определение арифметической прогрессии.
Числовая последовательность
a_1, a_2, a_3,…, a_n,… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство: a_(n+1)=a_n+d, где d- некоторое число.
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная с второго, получается прибавлением к предыдущему одного и тоже числа.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен сумме предыдущего члена и одного и тогоже числа d, называют арифметической прогрессией.
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (a_n ) заданная рекуррентно соотношениями: a_1=a, a_n=a_(n+1)+d, n=2,3,4… (a и d – заданные числа)
3.Свойства арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии не выделены.
1.В последовательности каждый член больше предыдущего, следовательно, она возрастающая.
2.Каждый член последовательности меньше предыдущего, следовательно, она убывающая. (Свойства сформулированы неявно.)
1.Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0.
2.Арифметическая прогрессия является убывающей последовательностью, если d<0.
4.Сумма первых n членов арифметической прогрессии.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии представлена в виде теоремы. Доказательство проводится на основе определения арифметической прогрессии.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии представлена в виде формулы. Вывод формулы предоставляется на примете метода Гаусса.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии представлена в виде формулы. Вывод формулы предоставляется на основе определения арифметической прогрессии.
5.Характеристическое....................... |
