- Дипломы
- Курсовые
- Рефераты
- Отчеты по практике
- Диссертации
Выражение коэффициента наклона уравнения регрессии
| Код работы: | W006299 |
| Тема: | Выражение коэффициента наклона уравнения регрессии |
Содержание
Государственное казённое образовательное учреждение
высшего образования
«Российская таможенная академия»
САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ В.Б. БОБКОВА ФИЛИАЛ
Кафедра технических средств таможенного контроля
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Статистический анализ с применением программных средств»
Тема : Выражение коэффициента наклона уравнения регрессии через коэффициента корреляции коовариоциной зависимых и независимых перемен
Выполнил:. А.А. Григорян,
студент 5-го курса
заочной формы обучения
факультета таможенного дела,
группаTc1301зс
Подпись______________________
Научный руководитель
И.А.Краснова
к.э.н. доцент .
Подпись______________________
Санкт-Петербург
2017
Оглавление
Введение...................................................................................................................4
1.Суть регрессионного анализа..............................................................................6
2.Анализ показателей качества подгонки регрессионного уравнения...............8
2.1.Проверка гипотез относительно параметров регрессионного уравнения......................................................................................................................................10 2.2.Проверка выполнения условий для получения «хороших оценок» МНК...................................................................................................................................11
2.3.Содержательный анализ регрессионного уравнения..................................12
3.Построение степенной, показательной и гиперболической моделей..........17
Заключение.............................................................................................................20
Список использованных источников...................................................................21
ВВЕДЕНИЕ
Объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и с помощью методов математической статистики.
Основными задачами эконометрики являются: получение наилучших оценок параметров экономико-математических моделей, конструируемых в прикладных целях; проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале; создание универсальных и специальных методов для обнаружения статистических закономерностей в экономике.
Актуальность проблемы: парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Например, при построении модели зависимости потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав.
Вместе с тем исследователь никогда не может быть уверен в справедливости данного предположения. Например, для того чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента — методу, который используется в химических, физических, биологических исследованиях.
Регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия — один из наиболее распространенных методов в эконометрике.
Основная цель регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Предметом исследования явились математико-статистические методы в экономических исследованиях.
1. Суть регрессионного анализа
Регрессия (лат. regressio- обратное движение, переход от более сложных форм развития к менее сложным) - одно из основных понятий в теории вероятности и математической статистике, выражающее зависимость среднего значения случайной величины от значений другой случайной величины или нескольких случайных величин. Это понятие введено Фрэнсисом Гальтоном в 1886.
К задачам регрессионного анализа относятся : • установление формы зависимости между переменными; • оценка модельной функции (модельного уравнения) регрессии; • оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.
Поведение и значение любого экономического показателя зависят практически от бесконечного количества факторов, и все их учесть нереально. Однако обычно лишь ограниченное количество факторов действительно существенно воздействует на исследуемый экономический показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным отклонениям в поведении исследуемого объекта. В естественных науках большей частью имеют дело со строгими (функциональными) зависимостями, при которых каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Однако в подавляющем большинстве случаев между экономическими переменными таких зависимостей нет. Поэтому в экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных либо статистических зависимостях.
Если переменные обозначить Х и Y, то зависимость вида:
называется функцией регрессии Y на X. При этом X называется независимой (объясняющей) переменной (прегрессором), Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении двух случайных величин говорят о парной регрессии. Решение задачи построения качественного уравнения регрессии, соответствующего эмпирическим данным и целям исследования, является достаточно сложным и многоступенчатым процессом.
Построение модели.
Для построения однофакторного регрессионного уравнения были выбраны следующие показатели: зависимая переменная (y) – внешнеторговый оборот России и независимая переменная (x) - экспорт.
Целью данной контрольной работы является анализ зависимости между выпуском: построение моделей зависимости и график; проверка адекватности однофакторного регрессионного уравнения.
Допустим, зависимость между оборотом и экспортом существует и эта зависимость регрессионная. Если учесть, что среднее значение случайной переменной - это математическое ожидание, то общий вид регрессионного уравнения может быть записан в таком виде:
М(y(x))=f(x), где М(y(x)) – математическое ожидание случайной переменной.
Частным случаем однофакторного регрессионного уравнения является линейная модель, которая имеет следующий вид, , где уi– объясняемая (зависимая) переменная; х -объясняющая (независимая) переменная; а- некоторая постоянная; в- отражает наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдения и характеризует процентные изменения у при изменении значения х на единицу.
Если знак при в больше нуля, то переменные проявляют прямую зависимость, если меньше нуля, то обратную.
Для статистической проверки взаимосвязи х и у необходимо найти коэффициенты а и в, и случайную компоненту Е методом наименьших квадратов при расчете парметров находят линию минимизирующую сумму квадтатов случайных компонентов или минимизирующую расхождение между фактическими и расчетными значениями y,то есть Е = уi - yрасч
2.Анализ показателей качества подгонки регрессионного уравнения
Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Его положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное – об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая уменьшается. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7, и слабой, если меньше 0,4.
Первым показателем качества подгонки является остаточная дисперсия.
Практическая реализация корреляционного анализа включает следующие этапы:
а) постановка задачи и выбор признаков;
б) сбор информации и ее первичная обработка (группировки, исключение аномальных наблюдений, проверка нормальности одномерного распределения);
в) предварительная характеристика взаимосвязей (аналитические группировки, графики);
г) устранение мультиколлинеарности (взаимозависимости факторов) и уточнение набора показателей путем расчета парных коэффициентов корреляции;
д) исследование факторной зависимости и проверка ее значимости;
е) оценка результатов анализа и подготовка рекомендаций по их практическому использованию.
Следующий показатель качества подгонки – это коэффициент детерминации R-квадрат, на основании которого возможно сопоставление различных уравнений. Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров a и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.
На практике также используют коэффициент корреляции rxy, который показывает степень связи между переменными. В отличие от коэффициента детерминации он характеризует силу и направление линейной связи между переменными. r = =0,9750. В нашем случае r находится в промежутке от -1 до +1, следовательно, линейная связь существует и она положительна.
Он показывает на сколько процентов измениться результативный признак y при изменении факторного признака х на один процент.
2.1. Проверка гипотез относительно параметров РУ
Приведенные показатели качества подгонки не позволяют принять статистическое решение о пригодности регрессинного уравнения, хотя и дают некоторое представление о качестве подгонки.
Одним из таких критериев является F-статистика. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии:
Так как F расч. > Fтабл., то связь между оборотом и экспортом существует с вероятностью 99%.
Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Если табличное значение показателя меньше фактического, то значения коэффициентов не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х,
Если наоборот, то признается случайная природа формирования коэффициентов.
Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляционные.
Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов.
Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.
Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.
При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n–наблюдений.
При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают X= и Y=
ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух переменных.
Ковариация между двумя переменными рассчитывается следующим образом:
где - фактические значения случайных переменных x и y.
Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные .
2.2.Проверка выполнения условий для получения «хороших оценок»
МНК.
Линейная множественная регрессия методом наименьших квадратов (МНК) - наиболее распространённый случай использования коэффициента детерминации Линейная множественная МНК регрессия имеет следующие общие свойства:
Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.
С увеличением количества объясняющих переменных увеличивается R2.
Общие свойства для МНК регрессии со свободным членом (единичным фактором).
Для случая наличия в такой регрессии свободного члена коэффициент детерминации обладает следующими свойствами:
принимает значения из интервала (отрезка) [0;1].
в случае парной линейной регрессионной МНК модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R2 = r2. А в случае множественной МНК регрессии R2 = r(y;f)2. Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.
R2 можно разложить по вкладу каждого фактора в значение R2, причём вклад каждого такого фактора будет положительным. Используется разложение: , где r0j - выборочный коэффициент корреляции зависимой и соответствующей второму индексу объясняющей переменной.R2 связан с проверкой гипотезы о том, что истинные значения коэффициентов при объясняющих переменных равны нулю, в сравнении с альтернативной гипотезой, что не все истинные значения коэффициентов равны нулю. Тогда случайная величина имеет F-распределение с (k-1) и (n-k) степенями свободы.
Для того, чтобы исследователи не увеличивали R2 с помощью добавления посторонних факторов, R2 заменяется на скорректированный, который даёт штраф за дополнительно включённые факторы, где n - количество наблюдений, а k - количество объясняющих переменных. В случае отсутствия в линейной множественной МНК регрессии свободного члена все четыре вышеперечисленных свойства могут нарушаться для конкретной реализации. Поэтому регрессию со свободным членом и без него нельзя сравнивать по критерию R2. Эта проблема решается с помощью построения распространённого коэффициента детерминации , который будет совпадать с исходным для случая МНК регрессии со свободным членом, и для которого будут продолжать выполняться четыре свойства перечисленые выше.
Суть этого метода заключается рассмотрении проекции единичного вектора на плоскость объясняющих переменных.
Для случая регрессии без свободного члена:
где X - матрица nxk значений факторов, P(X) = X * (X' * X) ? 1 * X' - проектор на плоскость X, , где in - единичный вектор nx1.
с условием небольшой модификации, также подходит для сравнения между собой регрессий построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК).
Среди основных условий регрессий присутствует следующее условие =const. Константу иногда называют также свободным членом, а угловой коэффициент - регрессионным или B-коэффициентом.
Одним из критериев выполнения этого условия является то, что величина F подчиняется F-распределению со степенями свободы n1=n/2-1 и n2=n/2-1.
Fтабл.=15,98
Fрасч=0,729
С вероятностью 99% условие 2 выполняется, т.к. Fрасч меньше Fтабл.
Следующим условием определения «хороших оценок» коэффициентов регрессии является отсутствие зависимости между случайными компонентами. Выполнение этого условия можно проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсена,
D-W= =39,2793/17,9253=2,1913
Так как d расч больше 2, то это значит, что гипотеза об отсутствии автокорреляции не принимается.
Е = =3,2437
Так как, Е . больше 15%, то модель построена на низшем уровне точности.
Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.
При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда-Квандта.
Основная идея теста Гольдфельда-Квандта состоит в следующем:
1) упорядочение наблюдений по мере возрастания переменной ;
2) исключение из рассмотрения центральных наблюдений; при этом
-число оцениваемых параметров;
3) разделение совокупности из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора ) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.
При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов.
2.3. Содержательный анализ регрессионного уравнения
Методы корреляционно-регрессионного анализа связи показателей.
Указанные особенности корреляционных связей порождают в теории корреляции две задачи: определение теоретической формы связи (регрессионный анализ) и измерение тесноты связи (корреляционный анализ).
Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции,с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Главным основанием для выбора вида уравнения должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма. Но теоретически обосновать форму связи каждого из факторов с результативным показателем можно далеко не всегда, поскольку исследуемые социально-экономические явления очень сложны и факторы, формирующие их уровень, тесно переплетаются и взаимодействуют друг с другом. Поэтому на основе теоретического анализа нередко могут быть сделаны самые общие выводы относительно направления связи.
Одним из элементов конкретных исследований является сопоставление различных уравнений зависимости, основанное на использовании критериев качества аппроксимации эмпирических данных конкурирующими вариантами моделей. Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций: линейную, гиперболическую, показательную, степенную, параболическую, логарифмическую.
Корреляционно-регрессионный анализ заключается в построении и анализе статистической модели в виде уравнения регрессии (уравнения корреляционной связи), приближенно выражающей зависимость результативного признака от одного или нескольких признаков-факторов и в оценке степени тесноты связи. Выбор формы связи имеет решающее значение в корреляционно-регрессионном анализе. Все дальнейшие самые тщательные расчеты могут быть обесценены, если форма связи избрана неверно.
Теоретическая линия связи называется линией регрессии, а ее поиск, построение, анализ и практическое применение — регрессионным анализом.
К корреляционно-регрессионному анализу переходят, если предварительная статистическая обработка эмпирических данных - группировка и расчет показателя эмпирического корреляционного отношения показывает, что сила связи между факторами и результативным признаком достаточно тесная.
Если зависимость довольно высокая, т.е. довольно близко приближается к функциональной, тогда именно теоретическая линия связи и ее параметры приобретают практическое значение, превращая теорию корреляции в хорошего помощника в плановых и экономических расчетах. Значит, когда связь высокая, есть смысл искать и находить теоретическую линию связи, т.е. выбрать определенный вид функции, наилучшим образом отображающий характер изучаемой связи.
Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие показатели вариации.
Общая дисперсия результативного признака , отображающая совокупное влияние всех факторов:
Факторная дисперсия результативного признака , отображающая вариацию y только от воздействия изучаемого фактора x:
Остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака y от всех прочих, кроме x, факторов:
Соотношение между факторной и общей дисперсиями характеризует меру тесноты связи между признаками x и y:
Показатель называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изучаемым фактором x.
На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции R:
R=
Индекс корреляции меняется в пределах от 0 до +1. Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера.
FR=·
где m - число параметров уравнения регрессии.
Расчетная величина критерия Фишера сравнивается с критическим значением, которое определяется по таблице F-критерия.
Если расчетное значение больше табличного, то величина индекса корреляции признается существующим.
Для получения выводов о практической значимости синтезированных в анализе моделей показаниям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока:
|
Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"
| Узнать цену | Каталог работ |
Похожие работы:
